Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função
e também encontrar o domínio e a imagem dessa função. Isso está dentro do conteúdo de funções e gráficos na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações com funções afetam o gráfico e como determinar onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde ela dá um resultado real.
Na nossa função
, temos uma raiz quadrada. A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos, então o que está dentro dela,
, precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os valores de
maiores ou iguais a -4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
Olha só, a expressão
sempre vai ser igual ou maior que zero porque a raiz quadrada de qualquer número não negativo é não negativa. Então,
.
Agora, como a gente tem
, vamos ver o que acontece com
:
- Quando
(o que acontece quando ):
- Conforme
aumenta, também aumenta, e como estamos subtraindo isso de 2, vai diminuindo.
Não tem um limite inferior para
porque, conforme
cresce sem parar,
pode ficar cada vez menor (negativo grande).
Então, a imagem da função é todos os valores de
menores ou iguais a 2:
Passo 4
Agora, vamos fazer o esboço do gráfico da função
.
- Ponto de partida: Quando
, . Então, temos o ponto (-4, 2). - Comportamento da função:
- Conforme
aumenta, aumenta. - Isso faz com que
diminua.
- Conforme
- Forma do gráfico: É uma transformação da função básica
, que foi deslocada 4 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima.
Então, o gráfico começa no ponto (-4, 2) e desce de forma contínua à medida que
aumenta.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
. O esboço do gráfico começa no ponto (-4, 2) e desce continuamente conforme
aumenta.