Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para fazer o esboço da função
e determinar o domínio e a imagem dela. Vamos trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas onde a variável está no expoente. Para resolver, vamos entender como essa função se comporta, quais valores
pode assumir (domínio) e quais valores
vamos obter (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função exponencial básica, onde
é aproximadamente 2,718. Essa função está sempre positiva, ou seja,
para qualquer real
. Então, quando subtraímos 1, a função
vai ter valores um pouco menores, mas ainda assim positivos ou negativos dependendo do
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores que
pode assumir. Como a função exponencial está definida para todo número real, não há restrições para
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de
. Sabemos que
é sempre positivo, então
pode ser qualquer número maior que
. Quando
tende a
,
se aproxima de 0, então
se aproxima de
. E quando
aumenta,
cresce sem limites.
Passo 5
Para fazer o esboço do gráfico, vamos identificar alguns pontos importantes:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Sabemos também que a função nunca toca
e que a curva passa pelo ponto (0,0) e cresce de forma contínua à medida que
aumenta.
Resposta
O esboço da função
tem domínio em todos os números reais (
) e imagem para todos os
maiores que
. O gráfico passa pelo ponto (0,0), cresce exponencialmente à medida que
aumenta e se aproxima de
quando
tende a
.