Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função
e descobrir qual é o domínio e a imagem dela. Isso envolve um pouco de matemática sobre funções logarítmicas, então vamos refrescar esses conceitos enquanto resolvemos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica
, o argumento dentro do logaritmo, que é
, tem que ser maior que zero, porque o logaritmo de números não positivos não está definido.
Então, para encontrar o domínio:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que 1.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Sabemos que a função logarítmica
pode assumir qualquer valor real, ou seja, sua imagem é
.
No nosso caso, temos
. Isso significa que estamos pegando qualquer valor que
possa ter e adicionando 2. Então, a imagem da função
também será todos os números reais, já que somar 2 a qualquer número real ainda nos dá todos os números reais.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico dessa função. Sabemos que a função
tem uma curva que passa por
, com domínio
e imagem
. No nosso caso, a função é
, o que significa que o gráfico da função logarítmica está deslocado 1 unidade para a direita. Além disso, adicionando 2, todo o gráfico é deslocado 2 unidades para cima.
Então, o gráfico de
terá uma assíntota vertical em
e passará por pontos como
, já que
, e
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
(todos os números reais)
Esboço da Função:
- Assíntota vertical em
- O gráfico é uma curva que passa por
e se estende para a direita, aumentando lentamente à medida que aumenta.