Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
y=2+ln (x-1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função y = 2 + ln(x - 1) e descobrir qual é o domínio e a imagem dela. Isso envolve um pouco de matemática sobre funções logarítmicas, então vamos refrescar esses conceitos enquanto resolvemos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica ln(x - 1) , o argumento dentro do logaritmo, que é x - 1 , tem que ser maior que zero, porque o logaritmo de números não positivos não está definido.
Então, para encontrar o domínio:
x - 1 > 0
Resolvendo essa inequação:
x > 1
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de y . Sabemos que a função logarítmica ln(z) pode assumir qualquer valor real, ou seja, sua imagem é R .
No nosso caso, temos y = 2 + ln(x - 1) . Isso significa que estamos pegando qualquer valor que ln(x - 1) possa ter e adicionando 2. Então, a imagem da função y = 2 + ln(x - 1) também será todos os números reais, já que somar 2 a qualquer número real ainda nos dá todos os números reais.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico dessa função. Sabemos que a função ln(x) tem uma curva que passa por (1, 0) , com domínio x > 0 e imagem R . No nosso caso, a função é ln(x - 1) , o que significa que o gráfico da função logarítmica está deslocado 1 unidade para a direita. Além disso, adicionando 2, todo o gráfico é deslocado 2 unidades para cima.
Então, o gráfico de y = 2 + ln(x - 1) terá uma assíntota vertical em x = 1 e passará por pontos como (2, 2) , já que ln(2 - 1) = ln(1) = 0 , e y = 2 + 0 = 2 .

Resposta

Domínio: x > 1
Imagem: R (todos os números reais)
Esboço da Função:
  • Assíntota vertical em x = 1
  • O gráfico é uma curva que passa por (2, 2) e se estende para a direita, aumentando lentamente à medida que x aumenta.

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