Questão 1. Faça o esboço das seguintes funções e determine seus domínios e suas imagens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função
e descobrir quais são o domínio e a imagem dessa função. A matéria que estamos usando aqui é trigonometria, especificamente sobre funções cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é o gráfico da função cosseno e o que acontece quando a gente faz algumas transformações nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função básica
. O gráfico do cosseno é uma onda que oscila entre 1 e -1, com um período de
. Isso significa que o cosseno repete seu padrão a cada
unidades no eixo x.
Passo 3
Agora, na função
, estamos adicionando 1 ao cosseno. O que isso faz? Basicamente, vai elevar todo o gráfico do cosseno em 1 unidade no eixo y. Então, se o cosseno original ia de -1 a 1, agora a função
vai ir de
até
.
Passo 4
Vamos falar do domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como o cosseno está definido para todos os números reais,
funciona para qualquer valor de x que você escolher. Então, o domínio de
também é todos os números reais.
Passo 5
Agora, sobre a imagem, que é o conjunto de todos os valores que y pode assumir. Como a gente viu, o cosseno vai de -1 a 1, e ao adicionar 1, a função
vai de 0 a 2. Então, a imagem dessa função é o intervalo [0, 2].
Passo 6
Por fim, para fazer o esboço do gráfico de
, a gente pega o gráfico do cosseno, que é uma onda entre 1 e -1, e simplesmente move ele para cima em 1 unidade. Assim, o novo gráfico vai oscilar entre 0 e 2, mantendo o mesmo formato e período de
.
Resposta
Então, resumindo: o domínio da função
é todos os números reais, e a imagem é o intervalo [0, 2].