Resolva os sistemas abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
e pede a solução geral. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, que resolvemos encontrando autovalores, autovetores e, no caso de raiz repetida, um autovetor generalizado.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
, com
]
Passo 3
O polinômio característico vem de
:
Passo 4
Temos
logo a raiz é
, de multiplicidade 2.
Passo 5
Procuramos um autovetor
resolvendo
:
daí
. Podemos escolher
Passo 6
Como só há um autovetor, precisamos de um autovetor generalizado
tal que
. Isso dá o sistema
cuja única condição é
. Uma escolha simples é
Passo 7
No caso de raiz repetida, a solução geral é
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.