Resolva os sistemas abaixo:
\{x^{\prime}=-4 x-y\} \(\{y^{\prime}=x-2 y\}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\begin{cases} x' = -4\,x - y,\\\ y' = x - 2\,y, \end{cases}
e pede a solução geral. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, que resolvemos encontrando autovalores, autovetores e, no caso de raiz repetida, um autovetor generalizado.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \mathbf{X}' = A\,\mathbf{X}, com
\mathbf{X} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix}-4 & -1\\[6pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico vem de \det(A - \lambda I)=0:
\det\begin{pmatrix}-4-\lambda & -1\\[3pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(-4-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot1 =(\lambda+4)(\lambda+2)+1 =\lambda^2+6\lambda+9.]

Passo 4

Temos
\lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2,
logo a raiz é \lambda_1=\lambda_2=-3, de multiplicidade 2.

Passo 5

Procuramos um autovetor v resolvendo (A+3I)v=0:
A+3I=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix},
daí -v_1-v_2=0. Podemos escolher
v=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como só há um autovetor, precisamos de um autovetor generalizado u tal que (A+3I)u=v. Isso dá o sistema
\begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
cuja única condição é u_1+u_2=-1. Uma escolha simples é
u=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

No caso de raiz repetida, a solução geral é
\mathbf{X}(t) = C_1 e^{-3t}v \;+\; C_2 e^{-3t}\bigl(t\,v + u\bigr).
Substituindo v e u, obtemos
x(t)=e^{-3t}\bigl[C_1 + C_2(t-1)\bigr], \qquad y(t)=e^{-3t}\bigl[-C_1 - C_2\,t\bigr].

Resposta

x(t)=e^{-3t}\bigl(C_1 + C_2(t-1)\bigr), \quad y(t)=e^{-3t}\bigl(-C_1 - C_2\,t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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