Questão 1:

A modelagem de certos sistemas físicos pode levar a equações diferenciais de segunda ordem, que podem ser convertidas em sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
Considere a equação diferencial:
h^{\prime \prime}-3 h^{\prime}+4 h=e^{t}
Reescreva essa equação como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem e assinale a alternativa correta.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=3 x_{2}-4 x_{1}+e^{t}\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=-3 x_{2}+4 x_{1}+e^{t}\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=3 x_{2}+4 x_{1}+e^{t}\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime \prime}=x_{2}^{\prime} \\\ x_{2}^{\prime \prime}=3 x_{2}^{\prime}-4 x_{1}^{\prime}+e^{t}\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime \prime}=x_{2}^{\prime} \\\ x_{2}^{\prime \prime}=3 x_{2}^{\prime}+4 x_{1}^{\prime}+e^{t}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação de segunda ordem
h'' - 3\,h' + 4\,h = e^{t}
num sistema equivalente de equações diferenciais de primeira ordem. O conteúdo é redução de ordem usando variáveis de estado.

Passo 2

Escolhemos as variáveis de estado
x_{1} = h, \quad x_{2} = h'.

Passo 3

Calculamos a derivada de x_{1}:
x_{1}' = h' = x_{2}.

Passo 4

Calculamos a derivada de x_{2}. Como x_{2}'=h'' e da equação original
h'' = 3\,h' - 4\,h + e^{t},
segue
x_{2}' = 3\,x_{2} - 4\,x_{1} + e^{t}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o sistema
\left\{ \begin{array}{l} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = 3\,x_{2} - 4\,x_{1} + e^{t} \end{array} \right.
é o que coincide com a primeira opção.

Resposta

\left\{ \begin{array}{l} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = 3\,x_{2} - 4\,x_{1} + e^{t} \end{array} \right.

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