Questão 3: Um feirante foi questionado sobre a quantidade de maças que ele possui. Em resposta, ele falou: ao dividir essa quantidade por 11, obtém-se resto 7; ao dividir o triplo dessa quantidade por 13 , obtém-se resto 5 ; por fim, ao ser dividida 7 vezes essa quantidade por 5 , obtém-se resto 4. E possível determinar a quantidade’ desse conjunto de maças ?
Monte o sistema de congruências equivalentes ao problema e aplique o teorema do resto chinês para resolve-lo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um inteiro x (número de maçãs) que satisfaça três condições de resto. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Chinês dos Restos (CRT). Primeiro vamos escrever as condições dadas em forma de congruências modulares.

Passo 2

As condições são:
ao dividir x por 11 sobra 7;
ao dividir 3x por 13 sobra 5;
ao dividir 7x por 5 sobra 4.
Em símbolos:
x equiv 7 pmod11,
3x equiv 5 pmod13,
7x equiv 4 pmod5

Passo 3

Transformamos as duas últimas congruências para a forma xequiv apmodn:
  1. Como gcd(3,13)=1, invertemos 3 módulo 13. O inverso de 3 em bmod,13 é 9 pois 3cdot9=27equiv1. Logo
x equiv 9cdot5 equiv 45 equiv 6 pmod13
  1. Em bmod,5, 7equiv2. Então
2x equiv 4 pmod5 Longrightarrow x equiv 2 pmod5
Agora o sistema é
x equiv 7 pmod11, x equiv 6 pmod13, x equiv 2 pmod5

Passo 4

Aplicamos CRT em duas congruências de cada vez. Primeiro xequiv7pmod11 e xequiv6pmod13. Escrevemos
x = 7 + 11k
e impomos
7 + 11k equiv 6 pmod13 ;Longrightarrow; 11k equiv -1 equiv 12 pmod13
Como 11equiv -2pmod13, isso vira
-2k equiv 12 pmod13 Longrightarrow 2k equiv 1 pmod13 Longrightarrow k equiv 7 pmod13
Logo k = 7 + 13t e
x = 7 + 11(7+13t) = 7 + 77 + 143t = 84 + 143t
Portanto
x equiv 84 pmod143

Passo 5

Falta ainda impor xequiv2pmod5. Escrevemos
x = 84 + 143t
e exigimos
84 + 143t equiv 2 pmod5
Como 84equiv4pmod5 e 143equiv3pmod5, dá
4 + 3t equiv 2 pmod5 Longrightarrow 3t equiv -2 equiv 3 pmod5 Longrightarrow t equiv 1 pmod5
Então t = 1 + 5m e
x = 84 + 143(1+5m) = 84 + 143 + 715m = 227 + 715m
Logo
x equiv 227 pmod715

Resposta

A solução geral é
x equiv 227 pmod715,
e a menor quantidade de maçãs positiva que satisfaz todas as condições é 227.

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