Questão 3: Um feirante foi questionado sobre a quantidade de maças que ele possui. Em resposta, ele falou: ao dividir essa quantidade por 11, obtém-se resto 7; ao dividir o triplo dessa quantidade por 13 , obtém-se resto 5 ; por fim, ao ser dividida 7 vezes essa quantidade por 5 , obtém-se resto 4. E possível determinar a quantidade’ desse conjunto de maças ?
Monte o sistema de congruências equivalentes ao problema e aplique o teorema do resto chinês para resolve-lo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um inteiro
(número de maçãs) que satisfaça três condições de resto. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Chinês dos Restos (CRT). Primeiro vamos escrever as condições dadas em forma de congruências modulares.
Passo 2
As condições são:
ao dividir por
sobra
;
ao dividir por
sobra
;
ao dividir por
sobra
.
ao dividir
ao dividir
ao dividir
Em símbolos:
Passo 3
Transformamos as duas últimas congruências para a forma
:
- Como
, invertemos módulo . O inverso de em é pois . Logo
- Em
, . Então
Agora o sistema é
Passo 4
Aplicamos CRT em duas congruências de cada vez. Primeiro
e
. Escrevemos
e impomos
Como
, isso vira
Logo
e
Portanto
Passo 5
Falta ainda impor
. Escrevemos
e exigimos
Como
e
, dá
Então
e
Logo
Resposta
A solução geral é
e a menor quantidade de maçãs positiva que satisfaz todas as condições é
.