QUESTÃO 5. Foi obtida uma amostra de 25 alunos de uma Faculdade para estimar a nota média dos registros dos alunos na Faculdade. Sabe-se de outros cursos que o desvio padrão das notas nesta Faculdade é de 2 pontos. A média da amostra foi de 4,9. Determine o intervalo de confiança ao 90%.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=25 de alunos, com desvio padrão populacional conhecido \sigma=2 e média amostral \bar{x}=4,9. Pede o intervalo de confiança de 90 % para a média verdadeira \mu. O conteúdo é inferência sobre a média com desvio padrão populacional conhecido, usando a distribuição normal.

Passo 2

Quando \sigma é conhecido e a amostra é de tamanho n, a estatística \bar{X} é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Aqui o nível de confiança é 90\%, logo \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O valor crítico da normal padrão é
z_{0,05}\approx 1,645.

Passo 4

Calculamos o erro máximo E:
E = z_{0,05}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,645 \times \frac{2}{\sqrt{25}} = 1,645 \times \frac{2}{5} = 1,645 \times 0,4 = 0,658.

Passo 5

Portanto, o intervalo de confiança de 90 % é
\bar{x} - E = 4,9 - 0,658 = 4,242,
\bar{x} + E = 4,9 + 0,658 = 5,558.

Resposta

O intervalo de confiança ao nível de 90 % para a nota média é
(4,242;\;5,558).

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