QUESTÃO 4. A resistência à compressão de uma série de máquinas pode ser modelada por uma distribuição normal com uma média de 6000 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} e um desvio padrão de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}.
a) Qual é a probabilidade de que a resistência de uma máquina seja entre 5800 e 5900 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} ?
b) Que tamanho deveria ter uma amostra para que
P(5950<\bar{X}<6050)=92 \% ? .

Passo 1

O enunciado nos diz que a resistência à compressão de uma máquina, X, segue uma distribuição normal com média \mu = 6000 e desvio padrão \sigma = 100. Pede-se:
a) P(5800 < X < 5900)
b) o tamanho de amostra n de modo que
P\bigl(5950 < \bar X < 6050\bigr) = 0{,}92.
Para resolver, usaremos a padronização em Z\sim N(0,1) e a distribuição amostral da média.

Passo 2

Para calcular P(5800<X<5900), padronizamos cada limite:
Z_1 = \frac{5800 - 6000}{100} = -2, \quad Z_2 = \frac{5900 - 6000}{100} = -1.
Então
P(5800<X<5900) = P(-2 < Z < -1) = \Phi(-1) - \Phi(-2).
Da tabela, \Phi(-1)=0{,}1587 e \Phi(-2)=0{,}0228. Logo,
P(5800<X<5900) = 0{,}1587 - 0{,}0228 = 0{,}1359.

Passo 3

Para achar n em
P\bigl(5950<\bar X<6050\bigr)=0{,}92,
sabemos que \bar X\sim N\bigl(6000,\,(100/\sqrt{n})^2\bigr). Então
P\Bigl(\frac{5950-6000}{100/\sqrt{n}}<Z<\frac{6050-6000}{100/\sqrt{n}}\Bigr) = P\Bigl(-\tfrac{50}{100/\sqrt{n}}<Z<\tfrac{50}{100/\sqrt{n}}\Bigr) =0{,}92.
Defina
a = \frac{50}{100/\sqrt{n}} = \tfrac12\sqrt{n}.
Pela simetria, queremos P(-a<Z<a)=0{,}92, o que dá
a = z_{(1+0,92)/2} = z_{0,96}\approx 1{,}75.
Assim,
\tfrac12\sqrt{n} = 1{,}75 \;\Longrightarrow\; \sqrt{n}=3{,}5 \;\Longrightarrow\; n=12{,}25.
Como n deve ser inteiro e queremos garantir pelo menos 92\%, tomamos n=13.

Resposta

a) 0,1359.
b) n = 13.

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