QUESTÃO 3. Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0 & \text { se } x<0 \\\ k x & \text { se } 0 \leq x<\frac{1}{2} \\\ k(1-x) & \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { se } x>1 \end{aligned}\right.
a) Qual valor deve ter a constante k ?
b) Determine P\left(\frac{1}{4} \leq X \leq \frac{3}{4}\right).
c) Determine a esperança de X.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X\) com distribuição triangular no intervalo \([0,1]\), cuja densidade é \[f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\\ k\,x, & 0\le x<\tfrac12,\\\ k\,(1-x), & \tfrac12\le x\le1,\\\\ 0, & x>1. \end{cases}
Precisamos de três coisas:
  1. Normalizar a densidade determinando k\]. 2. Calcular \(P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr).
    3. Encontrar a esperança \mathbb{E}[X].

Passo 2

Para achar k usamos que a integral da densidade em todo o suporte deve dar 1:
\int_{0}^{1/2}k\,x\,dx \;+\;\int_{1/2}^{1}k\,(1-x)\,dx \;=\;1.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1/2}k\,x\,dx = k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1/2} = k\cdot\frac{(1/2)^2}{2} = k\cdot\frac{1}{8},
\int_{1/2}^{1}k\,(1-x)\,dx = k\left[\;x-\frac{x^2}{2}\right]_{1/2}^{1} = k\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) - k\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\Bigr) = k\cdot\frac{1}{8}.
Somando, vem
k\cdot\frac{1}{8}+k\cdot\frac{1}{8}=k\cdot\frac{1}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad k=4.

Passo 3

Agora k=4. Para P(\tfrac14\le X\le\tfrac34) quebramos em dois trechos:
P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac12\bigr) =\int_{1/4}^{1/2}4x\,dx =4\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1/4}^{1/2} =2\Bigl(\tfrac14-\tfrac{1}{16}\Bigr) = \tfrac{3}{8},
P\bigl(\tfrac12\le X\le\tfrac34\bigr) =\int_{1/2}^{3/4}4(1-x)\,dx =4\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{1/2}^{3/4} =4\Bigl(\tfrac{15}{32}-\tfrac{12}{32}\Bigr) = \tfrac{3}{8}.
Logo
P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr) = \tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Para a esperança \mathbb{E}[X] usamos
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{1}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1/2}x\,(4x)\,dx +\int_{1/2}^{1}x\,\bigl[4(1-x)\bigr]\,dx.
Calculemos cada parcela:
\int_{0}^{1/2}4x^2\,dx =4\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1/2} =4\cdot\frac{1/8}{3} =\frac{1}{6},
\int_{1/2}^{1}4\bigl(x - x^2\bigr)\,dx =4\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{1/2}^{1} =4\Bigl(\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{12}\Bigr) =4\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{3}.
Somando dá
\mathbb{E}[X] =\frac{1}{6}+\frac{1}{3} =\frac{1}{2}.

Resposta

a) k=4
b) P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr)=\tfrac{3}{4}
c) \mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{2}

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