Questão 3: Nos itens a seguir, obtenha \frac{d z}{d t}.
z=\frac{4 x}{y w^{3}}, \quad x=7 t-1, \quad y=1-2 t, \quad w=t^{4}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
\;z=\dfrac{4x}{y w^{3}},\quad x=7t-1,\quad y=1-2t,\quad w=t^{4}.
Pede-se: obter \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Método escolhido e ideia principal (aula rápida):
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se z=z(x,y,w) e x,y,w dependem de t, então
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt}.
Explicando: \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z tratando y,w como constantes; \frac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em relação a t. O produto \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} mede a contribuição de x(t) para a variação de z. Vamos precisar também de \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dw}{dt}. Calculando-os:
\frac{dx}{dt}=7,\qquad \frac{dy}{dt}=-2,\qquad \frac{dw}{dt}=4t^{3},
pois a derivada de t^{4} é 4t^{3} (regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z. Reescrevo z em potências para ficar mais claro:
z=4x\,y^{-1}w^{-3}.
Derivo em relação a cada variável mantendo as outras constantes.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=4\,y^{-1}w^{-3}=\frac{4}{y w^{3}}.
Derivada parcial em relação a y (usar regra do poder: \dfrac{d}{dy}y^{-1}=-y^{-2}):
\frac{\partial z}{\partial y}=4x\cdot(-1)y^{-2}w^{-3}=-\frac{4x}{y^{2}w^{3}}.
Derivada parcial em relação a w (regra do poder em w^{-3}):
\frac{\partial z}{\partial w}=4x\,y^{-1}\cdot(-3)w^{-4}=-\frac{12x}{y w^{4}}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia, substituindo as parciais e as derivadas de x,y,w:
\frac{dz}{dt}=\frac{4}{y w^{3}}\cdot 7 \;+\; \left(-\frac{4x}{y^{2}w^{3}}\right)\cdot(-2)\;+\;\left(-\frac{12x}{y w^{4}}\right)\cdot(4t^{3}).
Simplificando cada termo:
\frac{dz}{dt}=\frac{28}{y w^{3}}+\frac{8x}{y^{2}w^{3}}-\frac{48t^{3}x}{y w^{4}}.

Passo 5

Substituo x=7t-1,\;y=1-2t,\;w=t^{4} em cada termo. Note que w^{3}=t^{12} e w^{4}=t^{16}.
Termo 1:
\frac{28}{y w^{3}}=\frac{28}{(1-2t)t^{12}}.
Termo 2:
\frac{8x}{y^{2}w^{3}}=\frac{8(7t-1)}{(1-2t)^{2}t^{12}}.
Termo 3:
-\frac{48t^{3}x}{y w^{4}}=-\frac{48t^{3}(7t-1)}{(1-2t)t^{16}}=-\frac{48(7t-1)}{(1-2t)t^{13}}.
Portanto
\frac{dz}{dt}=\frac{28}{(1-2t)t^{12}}+\frac{8(7t-1)}{(1-2t)^{2}t^{12}}-\frac{48(7t-1)}{(1-2t)t^{13}}.

Passo 6

Coloco tudo sobre o denominador comum (1-2t)^{2}t^{13} para somar os termos. Transformações:
\frac{28}{(1-2t)t^{12}}=\frac{28t(1-2t)}{(1-2t)^{2}t^{13}},
\frac{8(7t-1)}{(1-2t)^{2}t^{12}}=\frac{8t(7t-1)}{(1-2t)^{2}t^{13}},
-\frac{48(7t-1)}{(1-2t)t^{13}}=-\frac{48(7t-1)(1-2t)}{(1-2t)^{2}t^{13}}.
Somando numeradores:
28t(1-2t)+8t(7t-1)-48(7t-1)(1-2t).
Expando e simplifico:
28t-56t^{2}+56t^{2}-8t-48\big(9t-14t^{2}-1\big) =20t-48(9t-14t^{2}-1).
=20t-432t+672t^{2}+48=672t^{2}-412t+48.
Portanto
\frac{dz}{dt}=\frac{672t^{2}-412t+48}{(1-2t)^{2}t^{13}}.

Passo 7

Opção de factorizar um fator comum no numerador para ficar mais arrumado:
672t^{2}-412t+48=4\big(168t^{2}-103t+12\big),
então também pode ser escrito
\frac{dz}{dt}=\frac{4\big(168t^{2}-103t+12\big)}{(1-2t)^{2}t^{13}}.

Resposta

\displaystyle \frac{672t^{2}-412t+48}{(1-2t)^{2}t^{13}}

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