Questão 3: Nos itens a seguir, obtenha
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
Pede-se: obter .
Pede-se: obter
Passo 2
Método escolhido e ideia principal (aula rápida):
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se e
dependem de
, então
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
Explicando:
é a derivada de
tratando
como constantes;
é a taxa de variação de
em relação a
. O produto
mede a contribuição de
para a variação de
. Vamos precisar também de
. Calculando-os:
pois a derivada de
é
(regra do poder:
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Reescrevo
em potências para ficar mais claro:
Derivo em relação a cada variável mantendo as outras constantes.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
(usar regra do poder:
):
Derivada parcial em relação a
(regra do poder em
):
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia, substituindo as parciais e as derivadas de
:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Substituo
em cada termo. Note que
e
.
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Portanto
Passo 6
Coloco tudo sobre o denominador comum
para somar os termos. Transformações:
Somando numeradores:
Expando e simplifico:
Portanto
Passo 7
Opção de factorizar um fator comum no numerador para ficar mais arrumado:
então também pode ser escrito