Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=0;

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a identidade \operatorname{rot}(\nabla f)=\mathbf0 para uma função f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R diferenciável. Vamos usar as definições de gradiente e rotor, além do teorema de Schwarz (igualdade das derivadas parciais cruzadas).

Passo 2

O gradiente de f é
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Bigr),
e o rotor de um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3) é
\operatorname{rot}F = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\,\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\,\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Substituindo F=\nabla f na definição de rotor, obtemos
\operatorname{rot}(\nabla f) = \Bigl(\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial z}\bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr),\, \frac{\partial}{\partial z}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial z}\bigr),\, \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Como f é C^2, pelo teorema de Schwarz temos
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} =\frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y} e analogamente para os outros pares de variáveis. Logo cada uma das três componentes acima é zero e
\operatorname{rot}(\nabla f)=(0,0,0).

Resposta

(0,0,0)

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