Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
;
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar a identidade
para uma função
diferenciável. Vamos usar as definições de gradiente e rotor, além do teorema de Schwarz (igualdade das derivadas parciais cruzadas).
Passo 2
O gradiente de
é
e o rotor de um campo vetorial
é
Passo 3
Substituindo
na definição de rotor, obtemos
Passo 4
Como
é
, pelo teorema de Schwarz temos
e analogamente para os outros pares de variáveis. Logo cada uma das três componentes acima é zero e
.