Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade vetorial em
onde
,
,
e
. Para isso, vamos usar as definições de rotacional (
), divergência (
) e Laplaciano (
) e comparar componente a componente.
Passo 2
Relembremos as fórmulas em coordenadas cartesianas:
Então
Passo 3
Calculemos explicitamente a primeira componente de
:
Agora a primeira componente de
é
Comparando, vemos que
Como as derivadas mistas comutam, o mesmo raciocínio vale para as componentes 2 e 3.
Passo 4
Concluímos que, componente a componente,