Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{grad}(\operatorname{rot} F)=\operatorname{grad}(\operatorname{div} F)-\triangle F.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade vetorial em \mathbb{R}^3
\nabla\times\bigl(\nabla\times F\bigr)\;=\;\nabla\bigl(\nabla\cdot F\bigr)\;-\;\Delta F,
onde F=(F_{1},F_{2},F_{3}), \nabla\cdot F=F_{1,x}+F_{2,y}+F_{3,z}, \Delta F=(\Delta F_{1},\Delta F_{2},\Delta F_{3}) e \Delta F_{i}=F_{i,xx}+F_{i,yy}+F_{i,zz}. Para isso, vamos usar as definições de rotacional ( \nabla\times), divergência ( \nabla\cdot) e Laplaciano ( \Delta) e comparar componente a componente.

Passo 2

Relembremos as fórmulas em coordenadas cartesianas:
(\nabla\times F)_1 = F_{3,y}-F_{2,z},\quad (\nabla\times F)_2 = F_{1,z}-F_{3,x},\quad (\nabla\times F)_3 = F_{2,x}-F_{1,y}.
Então
\bigl(\nabla\times(\nabla\times F)\bigr)_1 =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\nabla\times F\bigr)_3 -\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\nabla\times F\bigr)_2.

Passo 3

Calculemos explicitamente a primeira componente de \nabla\times(\nabla\times F):
\begin{aligned} \bigl(\nabla\times(\nabla\times F)\bigr)_1 &=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(F_{2,x}-F_{1,y}\bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\bigl(F_{1,z}-F_{3,x}\bigr)\\\ &=F_{2,xy}-F_{1,yy}-F_{1,zz}+F_{3,xz}. \end{aligned}
Agora a primeira componente de \nabla(\nabla\cdot F)-\Delta F é
\begin{aligned} \bigl[\nabla(\nabla\cdot F)\bigr]_1 - (\Delta F)_1 &=\bigl(F_{1,xx}+F_{2,yx}+F_{3,zx}\bigr) -\bigl(F_{1,xx}+F_{1,yy}+F_{1,zz}\bigr)\\\ &=F_{2,xy}+F_{3,xz}-F_{1,yy}-F_{1,zz}. \end{aligned}
Comparando, vemos que
\bigl(\nabla\times(\nabla\times F)\bigr)_1 =\bigl[\nabla(\nabla\cdot F)\bigr]_1 - (\Delta F)_1.
Como as derivadas mistas comutam, o mesmo raciocínio vale para as componentes 2 e 3.

Passo 4

Concluímos que, componente a componente,
\nabla\times(\nabla\times F) =\nabla(\nabla\cdot F)-\Delta F.

Resposta

\nabla\times\bigl(\nabla\times F\bigr) =\nabla\bigl(\nabla\cdot F\bigr) -\Delta F.

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