Questāo 4: Para a função f: R longrightarrow R definida por f(x)=3 x^2-x+8. Perle-se:
( 14 Pts ) (b) Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto (-1,12).
(10Pts) (a) Determine a derivada de f em x=-1, utilizando a definiçâo. On seja, calcule um dos limites a seguir
lim x -1(f(x)-f(-1)x+1) lim h 0(f(-1+h)-f(-1)h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para trabalharmos com a função f(x) = 3x^2 - x + 8 . Temos duas partes:
(a) Calcular a derivada de f em x = -1 usando a definição de derivada.
(b) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto (-1, 12) .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada pela definição e como encontrar as equações das retas tangente e normal a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): calcular a derivada de f em x = -1 usando a definição de derivada.
A definição da derivada de uma função f em um ponto a é:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Aqui, a = -1 . Então, substituindo:
f'(-1) = limh to 0 f(-1 + h) - f(-1)h
Primeiro, vamos calcular f(-1) :
f(-1) = 3(-1)^2 - (-1) + 8 = 3(1) + 1 + 8 = 12
Agora, calculamos f(-1 + h) :
f(-1 + h) = 3(-1 + h)^2 - (-1 + h) + 8
Vamos expandir (-1 + h)^2 :
(-1 + h)^2 = 1 - 2h + h^2
Substituindo de volta:
f(-1 + h) = 3(1 - 2h + h^2) - (-1 + h) + 8 = 3 - 6h + 3h^2 + 1 - h + 8 = 12 - 7h + 3h^2
Agora, substituímos tudo na definição da derivada:
f'(-1) = limh to 0 (12 - 7h + 3h^2) - 12h = limh to 0 -7h + 3h^2h = limh to 0 (-7 + 3h) = -7

Passo 3

Agora que temos a derivada f'(-1) = -7 , vamos para a parte (b): determinar as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (-1, 12) .
A reta tangente a f no ponto (a, f(a)) tem inclinação igual à derivada em a , ou seja, mt = f'(a) .
Já a reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente: mn = -1mt .
Então:
  • Inclinação da tangente: mt = -7
  • Inclinação da normal: mn = -1-7 = 17
Agora, usamos a forma da equação da reta: y - y0 = m(x - x0) , onde (x0, y0) é o ponto de tangência, que aqui é (-1, 12) .
Para a reta tangente:
y - 12 = -7(x - (-1)) Rightarrow y - 12 = -7(x + 1)
y = -7x -7 + 12 Rightarrow y = -7x + 5
Para a reta normal:
y - 12 = 17(x - (-1)) Rightarrow y - 12 = 17(x + 1)
y = 17x + 17 + 12 Rightarrow y = 17x + 857

Resposta

A derivada de f em x = -1 é f'(-1) = -7 .
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1, 12) é:
y = -7x + 5
E a equação da reta normal é:
y = 17x + 857

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