Questāo 4: Para a função
definida por
. Perle-se:
( 14 Pts ) (b) Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
(10Pts) (a) Determine a derivada de
em
, utilizando a definiçâo. On seja, calcule um dos limites a seguir
( 14 Pts ) (b) Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
(10Pts) (a) Determine a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para trabalharmos com a função
. Temos duas partes:
(a) Calcular a derivada de
em
usando a definição de derivada.
(b) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada pela definição e como encontrar as equações das retas tangente e normal a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): calcular a derivada de
em
usando a definição de derivada.
A definição da derivada de uma função
em um ponto
é:
Aqui,
. Então, substituindo:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Vamos expandir
:
Substituindo de volta:
Agora, substituímos tudo na definição da derivada:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos para a parte (b): determinar as equações da reta tangente e da reta normal no ponto
.
A reta tangente a
no ponto
tem inclinação igual à derivada em
, ou seja,
.
Já a reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
.
Então:
- Inclinação da tangente:
- Inclinação da normal:
Agora, usamos a forma da equação da reta:
, onde
é o ponto de tangência, que aqui é
.
Para a reta tangente:
Para a reta normal:
Resposta
A derivada de
em
é
.
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
E a equação da reta normal é: