Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0(1+x)^ctg x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0(1+x)^cot x
Estamos diante de uma forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar logaritmo e, se necessário, aplicar a regra de L\’Hôpital.

Passo 2

Defina
L=limxto0(1+x)^cot x
Então
ln L = limxto0cot x ,ln(1+x)
Nosso objetivo agora é calcular esse limite.

Passo 3

Reescrevendo em forma de quociente, obtemos
ln L = limxto0ln(1+x)tan x
Tanto o numerador quanto o denominador vão a zero quando xto0, logo temos uma forma 0/0 e podemos usar a regra de L\’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a regra de L\’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(1+x)r]=11+x, ddx[tan x]=sec^2 x
Logo,
ln L = limxto011+xsec^2 x = 11+0cdotcos^2 0 =1

Passo 5

Como ln L=1, temos L=e^1. Portanto,

Resposta

e

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