Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x +infty(x+e^x)^2 / x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl(x+e^xr)^2/x
O conteúdo envolve limites de funções na forma f(x)^g(x). Uma técnica padrão é tomar o logaritmo, transformar em quociente e, se aparecer uma indeterminação tfracinftyinfty, usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = l(x+e^xr)^2/x
e analisamos
ln y = 2x,lnl(x+e^xr)
O limite original será lim y = expl(lim ln yr), desde que lim ln y exista (finito ou pminfty).

Passo 3

Estudamos
limxto+inftyln y = limxto+infty2,lnl(x+e^xr)x
Para xto+infty, temos ln(x+e^x)to+infty e xto+infty, logo aparece a forma tfracinftyinfty. Podemos então aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente

Passo 4

Derivando numerador e denominador em relação a x:
— Numerador:
ddxl[,2ln(x+e^x)r] =2cdot1+e^xx+e^x
— Denominador:
ddx[,x,]=1
Pelo L’Hôpital,
limxto+inftyln y = limxto+infty2,1+e^xx+e^x =2cdotlimxto+inftye^x(1+e^-x)e^x(e^-xx+1) =2cdot11 =2

Passo 5

Como limxto+inftyln y=2, segue
limxto+inftyy =expl(2r) =e^2

Resposta

e^2

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