Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0(x+e^2 x)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0(x+e^2x)^1x.
Esse tipo de limite é uma potência com forma indeterminada 1^infty, então a técnica é passar para a exponencial de um logaritmo, gerando um quociente do tipo 0/0 em que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Chamando
Phi = limxto0(x+e^2x)^1x,
tomamos logaritmo natural para transformar em produto:
lnPhi = limxto0lnl(x+e^2xr)x
Depois de obter esse limite, voltamos pela exponencial: Phi = e^lnPhi.

Passo 3

Note que, ao fazer xto0, temos
ln(x+e^2x)toln1=0 e xto0, gerando forma 0/0.
Aplicamos L’Hôpital:
lnPhi = limxto0ln(x+e^2x)x = limxto0ddxln(x+e^2x)ddxx

Passo 4

Calculamos as derivadas:
ddxln(x+e^2x) = 1+2e^2xx+e^2x, ddxx = 1
Logo,
lnPhi = limxto01+2e^2xx+e^2x = 1+2cdot e^00+e^0 = 31 =3
Portanto Phi = e^3.

Resposta

e^3

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