Questão 5: A função de onda que descreve elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por:
\psi_{1 s}=\frac{1}{\pi^{1 / 2}}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{3 / 2} e^{-Z r / a_{0}}
Determine a probabilidade do elétron ser encontrado entre \mathrm{a}_{0} e 2 \mathrm{a}_{0}

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio
\psi_{1s} = \frac{1}{\pi^{1/2}}\Bigl(\frac{Z}{a_0}\Bigr)^{3/2}e^{-Zr/a_0}
e pede a probabilidade do elétron ser encontrado entre r=a_0 e r=2a_0.
Conteúdo: densidade de probabilidade em mecânica quântica e integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

A probabilidade de achar o elétron numa região V é
P = \int_V |\psi_{1s}|^2\,\mathrm{d}\tau.
No nosso caso V é a casca esférica a_0\le r\le2a_0.

Passo 3

Em coordenadas esféricas \mathrm{d}\tau = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
Como |\psi_{1s}|^2 não depende de ângulos, a integração angular dá 4\pi, logo
P = 4\pi \int_{a_0}^{2a_0} |\psi_{1s}(r)|^2\,r^2\,\mathrm{d}r.

Passo 4

Para hidrogênio Z=1, temos
|\psi_{1s}|^2 = \frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{1}{a_0}\Bigr)^{3}e^{-2r/a_0}.
Então
P = 4\pi\int_{a_0}^{2a_0}\frac{1}{\pi}\frac{e^{-2r/a_0}}{a_0^3}\,r^2\,\mathrm{d}r =4\int_{a_0}^{2a_0}\frac{r^2}{a_0^3}e^{-2r/a_0}\,\mathrm{d}r.

Passo 5

Defina \lambda=2/a_0. Usamos a fórmula
\int r^2e^{-\lambda r}\,\mathrm{d}r =-e^{-\lambda r}\Bigl(\frac{r^2}{\lambda}+\frac{2r}{\lambda^2}+\frac{2}{\lambda^3}\Bigr)+C.

Passo 6

Avaliando de r=a_0 até r=2a_0 obtemos
P =4\Bigl[-e^{-\lambda r}\Bigl(\tfrac{r^2}{\lambda}+\tfrac{2r}{\lambda^2}+\tfrac{2}{\lambda^3}\Bigr)\Bigr]_{a_0}^{2a_0} =5e^{-2}-13e^{-4}.

Passo 7

Numericamente, e^{-2}\approx0{,}1353 e e^{-4}\approx0{,}0183, logo
P \approx 5(0{,}1353)-13(0{,}0183)\approx0{,}438.

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na região a_0\le r\le2a_0 é
P = 5e^{-2} - 13e^{-4} \approx 0{,}438.

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