Questão 5: A função de onda \psi=N x e^{-\alpha r} descreve um elétron em um estado excitado do átomo de hidrogênio. Encontre N de maneira que \psi fique normalizada

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
\psi = N\,x\,e^{-\alpha r}
e pede que ela seja normalizada, ou seja, que satisfaça
\int_{\mathbb{R}^3} |\psi|^2\,d^3r = 1.
O conteúdo aqui é normalização de funções de onda em coordenadas esféricas.

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização:
1 = \int_{\mathbb{R}^3} |\psi|^2\,d^3r = N^2 \int x^2\,e^{-2\alpha r}\,d^3r.
Em coordenadas esféricas usamos
x = r\sin\theta\cos\varphi, \quad d^3r = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
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x^2\,d^3r = r^4\,\sin^3\theta\cos^2\varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Separamos a integral em radial e angular:
\int_{\mathbb{R}^3} x^2\,e^{-2\alpha r}\,d^3r = \Bigl[\int_0^\infty r^4 e^{-2\alpha r}\,dr\Bigr] \Bigl[\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta\Bigr] \Bigl[\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi\Bigr].
Calculamos cada parte:
\int_0^\infty r^4 e^{-2\alpha r}\,dr = \frac{4!}{(2\alpha)^5} = \frac{24}{32\,\alpha^5} = \frac{3}{4\,\alpha^5},
\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta = \frac{4}{3},
\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi = \pi.
Multiplicando, vem
\int_{\mathbb{R}^3} x^2\,e^{-2\alpha r}\,d^3r = \frac{3}{4\,\alpha^5}\,\frac{4}{3}\,\pi = \frac{\pi}{\alpha^5}.

Passo 4

Substituindo na condição de normalização:
1 = N^2 \,\frac{\pi}{\alpha^5} \quad\Longrightarrow\quad N^2 = \frac{\alpha^5}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\alpha^{5/2}}{\sqrt{\pi}},
escolhendo o sinal positivo para a constante de normalização.

Resposta

N = \frac{\alpha^{5/2}}{\sqrt{\pi}}.

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