Questão 1: A função de onda que descreve um orbital 2 s em um átomo hidrogenóide é dada por:
\psi_{2 s}=\frac{1}{4(2 \pi)^{1 / 2}}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{3 / 2}\left(2-\frac{Z r}{a_{0}}\right) e^{-Z r / 2 a_{0}}
  1. Calcule os nós da função
  2. Obtenha os valores de r para os quais a probabilidade de se encontrar o elétron será maximizada.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do orbital 2s de um átomo hidrogenoide:
\psi_{2s}(r)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\Bigl(\frac{Z}{a_0}\Bigr)^{3/2}\Bigl(2-\frac{Zr}{a_0}\Bigr)e^{-Zr/2a_0}.
Queremos (1) os nós radiais, isto é, os valores de r que anulam \psi_{2s}, e (2) os valores de r que maximizam a probabilidade radial P(r)=4\pi r^2|\psi_{2s}(r)|^2.

Passo 2

Para achar os nós, basta resolver \psi_{2s}(r)=0. Como o fator exponencial nunca é zero, igualamos a parte polinomial a zero:
2-\frac{Zr}{a_0}=0.
Dessa equação segue imediatamente
r=\frac{2a_0}{Z}.

Passo 3

Agora a distribuição radial de probabilidade é
P(r)=4\pi r^2\bigl|\psi_{2s}(r)\bigr|^2,
mas para localizar os extremos podemos trabalhar com a função proporcional
f(r)=r^2\Bigl(2-\frac{Zr}{a_0}\Bigr)^{2}e^{-Zr/a_0}.

Passo 4

Para facilitar, definimos a variável adimensional
x=\frac{Zr}{a_0},
de modo que
f(x)=x^2(2-x)^2e^{-x}.
Precisamos resolver
\frac{df}{dx}=0.
Calculando
\frac{df}{dx}=e^{-x}\Bigl[\frac{d}{dx}\bigl(x^2(2-x)^2\bigr)-x^2(2-x)^2\Bigr]=0
o que leva a
\frac{d}{dx}\bigl(x^2(2-x)^2\bigr)=x^2(2-x)^2.

Passo 5

Expandindo x^2(2-x)^2=4x^2-4x^3+x^4 e derivando, obtemos
8x-12x^2+4x^3-(4x^2-4x^3+x^4)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x^3-8x^2+16x-8)=0.
O polinômio cúbico fatora em (x-2)(x^2-6x+4), cujas raízes são
x=0,\quad x=2,\quad x=3\pm\sqrt{5}.

Passo 6

Desprezamos x=0 (origem) e x=2 (nó, onde P=0). As soluções relevantes para máximos locais são
x_1=3-\sqrt{5},\quad x_2=3+\sqrt{5}.
Voltando a r, cada máximo ocorre em
r_i=\frac{a_0}{Z}\,x_i \quad\Longrightarrow\quad r_1=\frac{a_0}{Z}(3-\sqrt{5}), \quad r_2=\frac{a_0}{Z}(3+\sqrt{5}).

Resposta

  1. O nó radial ocorre em
r=\frac{2a_0}{Z}.
  1. Os máximos locais da distribuição radial estão em
r=\frac{a_0}{Z}\bigl(3-\sqrt{5}\bigr) \quad\text{e}\quad r=\frac{a_0}{Z}\bigl(3+\sqrt{5}\bigr).

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