Questão 4: Sabemos que a função de onda para átomos hidrogenóides pode ser descrita como: \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=R_{n l}(r) Y_{l}^{m}(\theta, \varphi). A parte radial é descrita como mostrado na questão anterior e, os harmônicos esféricos são descritos como:
Y_{l}^{m}(\theta, \varphi)=\left[\frac{(2 l+1)}{2} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}\right]^{1 / 2} P_{l}^{|m|}(\cos \theta) e^{i m \varphi}
onde:
\begin{aligned} & (l+1) P_{l+1}(z)-(2 l+1) z P_{l}(z)+l P_{l-1}(z)=0 \\\ & z=\cos \theta \\\ & P_{0}(z)=1 \\\ & P_{l}^{|m|}(z)=\left(1-z^{2}\right)^{|m| / 2} \frac{d^{|m|}}{d z^{|m|}} P_{l}(z) \end{aligned}
(a) Construa a função de onda para o orbital com n=2, I=1 e m_{l}=0.
(b) Qual é o ponto com maior probabilidade de se encontrar um elétron neste orbital ?
(c) Qual a probabilidade de se encontrar um elétron dentro de uma esfera de raio R , centrada no núcleo.

Passo 1

O enunciado pede a função de onda de um orbital hidrogenoide com n=2, l=1 e m_l=0. Vamos usar que
\psi_{n l m}(r,\theta,\varphi)=R_{n l}(r)\,Y_l^m(\theta,\varphi)
onde R_{n l}(r) é a parte radial e
Y_l^m(\theta,\varphi) =\Bigl[\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}\Bigr]^{1/2}P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\varphi}
é o harmônico esférico. Na parte radial usaremos o resultado padrão para R_{21}(r).

Passo 2

Para n=2 e l=1 a parte radial normalizada é
R_{21}(r) =\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\;\frac{r}{a_0}\;e^{-r/(2a_0)}
e o harmônico esférico para l=1, m=0 é
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi) =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\;\cos\theta\;.

Passo 3

A função de onda completa fica
\psi_{2\,1\,0}(r,\theta,\varphi) =R_{21}(r)\;Y_{1}^{0}(\theta,\varphi) =\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\;\frac{r}{a_0}\;e^{-r/(2a_0)} \;\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\;\cos\theta\;.

Passo 4

O ponto de maior probabilidade vem do máximo de
|\psi|^2\,dV =|R_{21}(r)|^2\,|Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)|^2\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como \int|Y_{1}^{0}|^2d\Omega=1, a densidade radial é
P(r)=|R_{21}(r)|^2\,r^2 =\frac{1}{24\,a_0^5}\;r^4\,e^{-r/a_0}.
Maximizando P(r) em r>0
\frac{d}{dr}\bigl(r^4e^{-r/a_0}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=4\,a_0.
Angularmente |Y_{1}^{0}|^2\propto\cos^2\theta é máximo em \theta=0 ou \pi.

Passo 5

A probabilidade de encontrar o elétron dentro de uma esfera de raio R é
P(R) =\int_{0}^{R}P(r)\,dr =\int_{0}^{R}\frac{1}{24\,a_0^5}r^4e^{-r/a_0}\,dr =1-e^{-R/a_0}\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}\Bigl(\frac{R}{a_0}\Bigr)^{k}\;.

Resposta

(a) \displaystyle \psi_{2\,1\,0}(r,\theta,\varphi) =\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\;\frac{r}{a_0}\;e^{-r/(2a_0)} \;\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\;\cos\theta.
(b) o máximo ocorre em r=4\,a_0 e \theta=0 (ou \pi), isto é, ao longo do eixo z a 4\,a_0 do núcleo.
(c) \displaystyle P(R) =1-e^{-R/a_0}\Bigl(1+\frac{R}{a_0}+\frac{R^2}{2a_0^2}+\frac{R^3}{6a_0^3}+\frac{R^4}{24a_0^4}\Bigr).

Exercícios relacionados