28^ a Questão

Uma função real y=f(x) satisfaz a equação diferencial y^prime+x y^2=0. Se f(1)=1 então f(2) é igual a:
(a) 1 / 3.
(b) 2 / 5.
(c) 1 / 2.
(d) 1 .
(e) 2 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' + x,y^2 = 0
com condição inicial f(1)=1, e pede o valor de f(2).
Conteúdo: equação diferencial de variáveis separáveis. Precisamos isolar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=dfracdydx, temos
dydx = -,x,y^2
Agora separam-se as variáveis y e x:
1y^2,dy = -,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy = - integral x,dx
O lado esquerdo é
integral y^-2,dy = -1y,
e o direito é
-integral x,dx = -x^22 + C
Logo obtemos a forma implícita
-1y = -x^22 + C Longrightarrow 1y = x^22 + K,
onde K=-C.

Passo 4

Usando a condição y(1)=1, temos
11 = 1^22 + K Longrightarrow 1 = 12 + K Longrightarrow K = 12

Passo 5

Substituindo K na solução implícita,
1y = x^22 + 12 = x^2+12 Longrightarrow y = 2x^2+1
Finalmente, em x=2:
y(2) = 22^2 + 1 = 25

Resposta

(b) tfrac25

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