29^ a Questão

O valor de integral0^1 x e^x^2 d x é:
(a) 0 .
(b) 1 .
(c) e-1.
(d) (e-1) / 2.
(e) e^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x,e^x^2,dx
Este é um caso clássico de integração por substituição, onde aproveitamos que a derivada de x^2 aparece multiplicando e^x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Quando x varia de 0 até 1, o novo limite u varia de
u(0)=0^2=0 até u(1)=1^2=1 é
Então a integral fica
integral0^1 x,e^x^2,dx = integral0^1 e^u,du2 = 12integral0^1 e^u,du

Passo 4

Sabendo que
integral e^u,du = e^u,
temos
12integral0^1 e^u,du = 12l[e^ur]0^1 = 12l(e^1-e^0r) = 12(e-1)

Resposta

(d)

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