Questão

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K. Analise as afirmativas a seguir e marque a opção correta.
I
Qualquer conjunto de n vetores
Linearmente independentes é uma
base de V.
II Se V possui uma base com n vetores, então, qualquer conjunto com n+1 vetores é Linearmente dependente
(a) Apenas I é verdadeira.
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K e apresenta duas afirmações:
I. Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é uma base de V.
II. Se V possui uma base com n vetores, então qualquer conjunto com n+1 vetores é linearmente dependente.
O conteúdo que precisamos usar é a definição de dimensão de um espaço vetorial:
  1. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.
  2. Em um espaço de dimensão n, todo conjunto de vetores linearmente independentes tem no máximo n elementos e todo conjunto com mais de n elementos é linearmente dependente.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
Seja Ssubset V um conjunto com exatamente n vetores que é linearmente independente. Pela definição de dimensão, não existe conjunto independente com mais de n vetores, e todo conjunto independente de tamanho igual à dimensão é automaticamente gerador de V. Logo, S gera V e é independente, isto é, é base de V.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
Como V tem dimensão n, qualquer conjunto de vetores com mais de n elementos não pode ser independente (pois o tamanho máximo de um conjunto independente é a dimensão). Logo, todo conjunto com n+1 vetores em V é necessariamente linearmente dependente.
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Resposta

(d) I e II são verdadeiras.

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