Questão
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K. Analise as afirmativas a seguir e marque a opção correta.
I
Qualquer conjunto de n vetores
Linearmente independentes é uma
base de V.
II
Se V possui uma base com n vetores, então, qualquer conjunto com n+1 vetores é Linearmente dependente
(a) Apenas I é verdadeira.
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.
I |
|
|||
II | Se V possui uma base com n vetores, então, qualquer conjunto com n+1 vetores é Linearmente dependente |
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
sobre um corpo
e apresenta duas afirmações:
I. Qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes é uma base de
.
II. Se possui uma base com
vetores, então qualquer conjunto com
vetores é linearmente dependente.
II. Se
O conteúdo que precisamos usar é a definição de dimensão de um espaço vetorial:
- A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de . - Em um espaço de dimensão
, todo conjunto de vetores linearmente independentes tem no máximo elementos e todo conjunto com mais de elementos é linearmente dependente.
Passo 2
Analisando a afirmação I:
Seja um conjunto com exatamente
vetores que é linearmente independente. Pela definição de dimensão, não existe conjunto independente com mais de
vetores, e todo conjunto independente de tamanho igual à dimensão é automaticamente gerador de
. Logo,
gera
e é independente, isto é, é base de
.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Seja
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
Como tem dimensão
, qualquer conjunto de vetores com mais de
elementos não pode ser independente (pois o tamanho máximo de um conjunto independente é a dimensão). Logo, todo conjunto com
vetores em
é necessariamente linearmente dependente.
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Como
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Resposta
(d) I e II são verdadeiras.