Questão 3 - (geometria aplicada) Um agricultor deseja cercar um terreno retangular com 200 metros de cerca. Uma de suas laterais já é cercada por um muro e não precisará de cerca.
a) Quais devem ser as dimensões do terreno para maximizar a área cercada?
b) Qual será a área máxima?
Sugestão: Consulte o exemplo no Stewart sobre otimização com restrição geométrica.

Passo 1

O enunciado diz que queremos cercar um terreno retangular de modo que uma de suas laterais fique encostada num muro (logo não precisa de cerca nessa lateral) e que a quantidade total de cerca disponível é de 200 metros. O conteúdo é um problema de otimização de área com restrição geométrica. Vamos precisar:
  1. Definir variáveis para as dimensões do terreno.
  2. Escrever a restrição que relaciona essas variáveis ao comprimento total de cerca.
  3. Expressar a área em função de uma única variável.
  4. Encontrar o valor que maximiza essa área usando derivadas.

Passo 2

Seja x a medida da profundidade (as duas laterais perpendiculares ao muro) e y a medida da base paralela ao muro. Como há duas laterais de comprimento x e apenas uma de comprimento y cercadas, a restrição do comprimento de cerca é
2x + y = 200.
Dessa equação, isolamos y:
y = 200 - 2x.

Passo 3

A área do terreno, em função de x, é
A(x) = x \cdot y = x\,(200 - 2x) = 200x - 2x^2.

Passo 4

Para maximizar A(x), calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
A'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(200x - 2x^2\bigr) = 200 - 4x,
200 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 50.
Esse é o ponto crítico. Como A(x) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo), esse valor de x realmente maximiza a área.

Passo 5

Substituímos x=50 em y = 200 - 2x:
y = 200 - 2\cdot50 = 100.
E a área máxima é
A_{\max} = 50 \times 100 = 5000.

Resposta

a) As dimensões que maximizam a área são 50 m de profundidade e 100 m de base.
b) A área máxima vale 5000 m ^2.

Exercícios relacionados