Questão 3 - (geometria aplicada) Um agricultor deseja cercar um terreno retangular com 200 metros de cerca. Uma de suas laterais já é cercada por um muro e não precisará de cerca.
a) Quais devem ser as dimensões do terreno para maximizar a área cercada?
b) Qual será a área máxima?
Sugestão: Consulte o exemplo no Stewart sobre otimização com restrição geométrica.
a) Quais devem ser as dimensões do terreno para maximizar a área cercada?
b) Qual será a área máxima?
Passo 1
O enunciado diz que queremos cercar um terreno retangular de modo que uma de suas laterais fique encostada num muro (logo não precisa de cerca nessa lateral) e que a quantidade total de cerca disponível é de
metros. O conteúdo é um problema de otimização de área com restrição geométrica. Vamos precisar:
- Definir variáveis para as dimensões do terreno.
- Escrever a restrição que relaciona essas variáveis ao comprimento total de cerca.
- Expressar a área em função de uma única variável.
- Encontrar o valor que maximiza essa área usando derivadas.
Passo 2
Seja
a medida da profundidade (as duas laterais perpendiculares ao muro) e
a medida da base paralela ao muro. Como há duas laterais de comprimento
e apenas uma de comprimento
cercadas, a restrição do comprimento de cerca é
Dessa equação, isolamos
:
Passo 3
A área do terreno, em função de
, é
Passo 4
Para maximizar
, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
Esse é o ponto crítico. Como
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de
negativo), esse valor de
realmente maximiza a área.
Passo 5
Substituímos
em
:
E a área máxima é
Resposta
a) As dimensões que maximizam a área são
m de profundidade e
m de base.
b) A área máxima vale m
.
b) A área máxima vale