Sejam a e b números reais positivos com a diferente de 1 e c um número real não nulo. Mostre que \log _{\mathrm{a}}{ }^{\mathrm{c}} b=1 / \mathrm{c} \log a b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação de mudança de base do logaritmo quando a base é elevada a um expoente. Temos a>0, a\neq1, b>0 e c\neq0. Vamos usar a definição de logaritmo pela mudança de base e a propriedade de potências no logaritmo.

Passo 2

Pela fórmula de mudança de base, podemos escrever
\log_{a^c} b = \frac{\ln b}{\ln\bigl(a^c\bigr)},
onde \ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Usando a propriedade de potências no logaritmo, temos
\ln\bigl(a^c\bigr) = c\,\ln a.
Logo,
\log_{a^c} b = \frac{\ln b}{c\,\ln a} = \frac{1}{c}\,\frac{\ln b}{\ln a}.

Passo 4

Reconhecendo que \displaystyle\frac{\ln b}{\ln a} = \log_a b, obtemos
\log_{a^c} b = \frac{1}{c}\,\log_a b.

Resposta

\log_{a^c} b = \frac{1}{c}\,\log_a b.

Exercícios relacionados