Questão 1 (Revisão de conceitos) Explique com suas palavras:
a) O que é um ponto de máximo local?
b) O que é um ponto de mínimo absoluto?
c) Qual é o papel da derivada nesses conceitos?
d) O que caracteriza um ponto crítico em uma função?
e) Uma função pode ter um extremo local onde a derivada não existe? Se sim, dê um exemplo.
Se não, justifique.
f) O Teorema de Rolle garante a existência de um ponto onde a derivada é zero, sob certas condições. Dê um exemplo concreto e interprete geometricamente esse ponto.
f) Dê um exemplo de uma função contínua que tenha um mínimo absoluto mas nenhum máximo absoluto. Explique por que seu exemplo atende a essa condição.
g) Por que a função \operatorname{tanh} x não possui extremos locais, mesmo que sua derivada atinja o valor máximo em x=0 ? Sugestão: Consulte o exemplo resolvido no livro (Exemplo da seção sobre extremos locais).

Passo 1

O enunciado faz uma revisão de conceitos de cálculo diferencial de funções de uma variável: pontos de máximo e mínimo (locais e absolutos), pontos críticos, papel da derivada, existência de extremos quando a derivada não existe, aplicação do Teorema de Rolle, exemplos de funções com mínimo absoluto mas sem máximo, e análise de por que \operatorname{tanh} x não tem extremos locais apesar de sua derivada alcançar valor máximo em x=0. Para resolver, vamos usar definições de extremos, teste da primeira derivada, Teorema de Rolle e exemplos concretos.

Passo 2

Definimos ponto de máximo local de f em x_0 quando existe um intervalo aberto (x_0-\delta,x_0+\delta) tal que, para todo x nesse intervalo,
f(x)\le f(x_0),
ou seja, f(x_0) é o maior valor de f em torno de x_0.

Passo 3

Definimos ponto de mínimo absoluto de f quando existe x_m no domínio de f tal que, para todo x no domínio,
f(x)\ge f(x_m).
Isso significa que f(x_m) é o menor valor que f atinge em todo o seu domínio.

Passo 4

A derivada indica a taxa de variação de f. No teste da primeira derivada:
  • Se f' muda de positivo para negativo em x_0, x_0 é máximo local.
  • Se f' muda de negativo para positivo, x_0 é mínimo local.
    Além disso, pontos onde f'(x)=0 ou f' é indefinida são candidatos a extremos.

Passo 5

Chamamos ponto crítico de f todo ponto x_c do domínio onde
f'(x_c)=0 \quad\text{ou}\quad f'\text{ não existe em }x_c.ã
São nesses pontos que podemos ter máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Sim, é possível ter extremo local onde f' não existe. Exemplo clássico:
f(x)=|x|.
Em x=0, f(0)=0 é mínimo local, mas f' não existe em 0 (as derivadas laterais são -1 e +1).

Passo 7

O Teorema de Rolle afirma que se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0. Exemplo:
f(x)=\cos x \quad\text{em}\quad [0,2\pi].
Temos f(0)=f(2\pi)=1, logo existe c=\pi em (0,2\pi) com
f'(\pi)=-\sin\pi=0.
Geometricamente, em x=\pi o gráfico de \cos x tem tangente horizontal.

Passo 8

Um exemplo de função contínua com mínimo absoluto e sem máximo absoluto é
f(x)=x^2, \quad x\in\mathbb{R}.
Aqui f é crescente para x>0 e decrescente para x<0, atinge seu valor mínimo 0 em x=0 (mínimo absoluto), mas não há maior valor de x^2 quando x\to\pm\infty.

Passo 9

Para \operatorname{tanh} x temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\sech^2 x,
que atinge o valor máximo 1 em x=0. Contudo, \sech^2 x>0 para todo x, ou seja, \operatorname{tanh} x é estritamente crescente em \mathbb{R}. Como não há troca de sinal de f', não aparecem nem máximos nem mínimos locais.

Resposta

a) Ponto de máximo local em x_0: valor de f(x_0) maior ou igual aos valores de f(x) num intervalo em torno de x_0.
b) Ponto de mínimo absoluto em x_m: valor de f(x_m) menor ou igual ao de f(x) em todo o domínio.
c) A derivada indica onde a função cresce ou decresce; mudanças de sinal em f' apontam extremos e pontos onde f'=0 ou f' indefinida são candidatos a extremos.
d) Ponto crítico: x_c tal que f'(x_c)=0 ou f' não existe em x_c.
e) Sim. Exemplo: f(x)=|x| tem mínimo local em 0 sem f' existir aí.
f) Exemplo: \cos x em [0,2\pi] satisfaz f(0)=f(2\pi), e em x=\pi temos f'(\pi)=0, tangente horizontal.
g) \operatorname{tanh} x é estritamente crescente ( f'(x)=\sech^2 x>0), logo não há troca de sinal em f' e, portanto, nenhum extremo local, mesmo que f' atinja seu máximo em x=0.

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