Questão 1 (Revisão de conceitos) Explique com suas palavras:
a) O que é um ponto de máximo local?
b) O que é um ponto de mínimo absoluto?
c) Qual é o papel da derivada nesses conceitos?
d) O que caracteriza um ponto crítico em uma função?
e) Uma função pode ter um extremo local onde a derivada não existe? Se sim, dê um exemplo.
Se não, justifique.
f) O Teorema de Rolle garante a existência de um ponto onde a derivada é zero, sob certas condições. Dê um exemplo concreto e interprete geometricamente esse ponto.
f) Dê um exemplo de uma função contínua que tenha um mínimo absoluto mas nenhum máximo absoluto. Explique por que seu exemplo atende a essa condição.
g) Por que a função
não possui extremos locais, mesmo que sua derivada atinja o valor máximo em
? Sugestão: Consulte o exemplo resolvido no livro (Exemplo da seção sobre extremos locais).
a) O que é um ponto de máximo local?
b) O que é um ponto de mínimo absoluto?
c) Qual é o papel da derivada nesses conceitos?
d) O que caracteriza um ponto crítico em uma função?
e) Uma função pode ter um extremo local onde a derivada não existe? Se sim, dê um exemplo.
f) O Teorema de Rolle garante a existência de um ponto onde a derivada é zero, sob certas condições. Dê um exemplo concreto e interprete geometricamente esse ponto.
f) Dê um exemplo de uma função contínua que tenha um mínimo absoluto mas nenhum máximo absoluto. Explique por que seu exemplo atende a essa condição.
g) Por que a função
Passo 1
O enunciado faz uma revisão de conceitos de cálculo diferencial de funções de uma variável: pontos de máximo e mínimo (locais e absolutos), pontos críticos, papel da derivada, existência de extremos quando a derivada não existe, aplicação do Teorema de Rolle, exemplos de funções com mínimo absoluto mas sem máximo, e análise de por que
não tem extremos locais apesar de sua derivada alcançar valor máximo em
. Para resolver, vamos usar definições de extremos, teste da primeira derivada, Teorema de Rolle e exemplos concretos.
Passo 2
Definimos ponto de máximo local de
em
quando existe um intervalo aberto
tal que, para todo
nesse intervalo,
ou seja,
é o maior valor de
em torno de
.
Passo 3
Definimos ponto de mínimo absoluto de
quando existe
no domínio de
tal que, para todo
no domínio,
Isso significa que
é o menor valor que
atinge em todo o seu domínio.
Passo 4
A derivada indica a taxa de variação de
. No teste da primeira derivada:
- Se
muda de positivo para negativo em , é máximo local. - Se
muda de negativo para positivo, é mínimo local.
Além disso, pontos ondeou é indefinida são candidatos a extremos.
Passo 5
Chamamos ponto crítico de
todo ponto
do domínio onde
São nesses pontos que podemos ter máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Sim, é possível ter extremo local onde
não existe. Exemplo clássico:
Em
,
é mínimo local, mas
não existe em
(as derivadas laterais são
e
).
Passo 7
O Teorema de Rolle afirma que se
é contínua em
, diferenciável em
e
, então existe
tal que
. Exemplo:
Temos
, logo existe
em
com
Geometricamente, em
o gráfico de
tem tangente horizontal.
Passo 8
Um exemplo de função contínua com mínimo absoluto e sem máximo absoluto é
Aqui
é crescente para
e decrescente para
, atinge seu valor mínimo
em
(mínimo absoluto), mas não há maior valor de
quando
.
Passo 9
Para
temos
que atinge o valor máximo
em
. Contudo,
para todo
, ou seja,
é estritamente crescente em
. Como não há troca de sinal de
, não aparecem nem máximos nem mínimos locais.
Resposta
a) Ponto de máximo local em
: valor de
maior ou igual aos valores de
num intervalo em torno de
.
b) Ponto de mínimo absoluto em : valor de
menor ou igual ao de
em todo o domínio.
c) A derivada indica onde a função cresce ou decresce; mudanças de sinal em apontam extremos e pontos onde
ou
indefinida são candidatos a extremos.
d) Ponto crítico: tal que
ou
não existe em
.
e) Sim. Exemplo: tem mínimo local em
sem
existir aí.
f) Exemplo: em
satisfaz
, e em
temos
, tangente horizontal.
g) é estritamente crescente (
), logo não há troca de sinal em
e, portanto, nenhum extremo local, mesmo que
atinja seu máximo em
.
b) Ponto de mínimo absoluto em
c) A derivada indica onde a função cresce ou decresce; mudanças de sinal em
d) Ponto crítico:
e) Sim. Exemplo:
f) Exemplo:
g)