Questão 3 (gráfico CUSUM)

廿ma empresa de alimentos monitora a temperatura de cozimento de um produto, cujo valor alvo é 180^{\circ} \mathrm{C}, com desvio padrão de \mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. O controle é feito usando o gráfico CUSUM tabular, com:
© Valor de referência (\mathbf{k})=0,5
(2) \mathbf{H}=5
As temperaturas medidas em 10 amostras consecutivas foram:
[180, 181, 182, 183, 183, 184, 185, 186, 185, 186]
a) Calcule os valores de \mathrm{C}^{+} e \mathrm{C}^{-}usando o CUSUM tabular.
b) Verifique se o processo está sob controle estatístico. Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um gráfico CUSUM tabular para monitorar a temperatura de cozimento de um produto com meta \mu_0=180^\circ\mathrm{C} e desvio padrão \sigma=1^\circ\mathrm{C}. Os parâmetros do CUSUM são:
– valor de referência k=0,5
– limite de alarme H=5
Temos 10 observações consecutivas
X = [180,\;181,\;182,\;183,\;183,\;184,\;185,\;186,\;185,\;186].
Vamos calcular passo a passo os acumulados positivos C_i^+ e negativos C_i^- e depois verificar se algum ultrapassa H.

Passo 2

As recorrências do CUSUM tabular são
C_i^+ = \max\bigl(0,\;C_{i-1}^+ + (X_i - (\mu_0+k))\bigr),
C_i^- = \max\bigl(0,\;C_{i-1}^- + ((\mu_0-k) - X_i)\bigr),
com C_0^+ = C_0^- = 0.
Note que
X_i - (\mu_0+k) = X_i - 180{,}5, \quad (\mu_0-k) - X_i = 179{,}5 - X_i.

Passo 3

Calculamos para cada i:
i =1:
\delta_1 = 180 - 180{,}5 = -0{,}5 C_1^+ = \max(0,\,0 + (-0{,}5)) = 0 C_1^- = \max(0,\,0 + (179{,}5-180)) = 0
i =2:
\delta_2 = 181 - 180{,}5 = 0{,}5 C_2^+ = \max(0,\,0 + 0{,}5) = 0{,}5 C_2^- = \max(0,\,0 + (179{,}5-181)) = 0
i =3:
\delta_3 = 182 - 180{,}5 = 1{,}5 C_3^+ = \max(0,\,0{,}5 + 1{,}5) = 2{,}0 C_3^- = \max(0,\,0 + (179{,}5-182)) = 0
i =4:
\delta_4 = 183 - 180{,}5 = 2{,}5 C_4^+ = \max(0,\,2{,}0 + 2{,}5) = 4{,}5 C_4^- = 0
i =5:
\delta_5 = 183 - 180{,}5 = 2{,}5 C_5^+ = \max(0,\,4{,}5 + 2{,}5) = 7{,}0 C_5^- = 0
i =6:
\delta_6 = 184 - 180{,}5 = 3{,}5 C_6^+ = \max(0,\,7{,}0 + 3{,}5) = 10{,}5 C_6^- = 0
i =7:
\delta_7 = 185 - 180{,}5 = 4{,}5 C_7^+ = \max(0,\,10{,}5 + 4{,}5) = 15{,}0 C_7^- = 0
i =8:
\delta_8 = 186 - 180{,}5 = 5{,}5 C_8^+ = \max(0,\,15{,}0 + 5{,}5) = 20{,}5 C_8^- = 0
i =9:
\delta_9 = 185 - 180{,}5 = 4{,}5 C_9^+ = \max(0,\,20{,}5 + 4{,}5) = 25{,}0 C_9^- = 0
i =10:
\delta_{10} = 186 - 180{,}5 = 5{,}5 C_{10}^+ = \max(0,\,25{,}0 + 5{,}5) = 30{,}5 C_{10}^- = 0

Passo 4

O limite de alarme é H=5. Observamos que
C_5^+ = 7{,}0 > 5,
e todos os C_i^- ficaram em zero.

Passo 5

Como C^+ excede H já na 5ª amostra, o gráfico CUSUM dispara alarme, indicando que o processo saiu de controle em tendência positiva.

Resposta

a) Os valores são
\;C^+ = [0,\;0{,}5,\;2{,}0,\;4{,}5,\;7{,}0,\;10{,}5,\;15{,}0,\;20{,}5,\;25{,}0,\;30{,}5] \;C^- = [0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0]
b) O processo não está sob controle estatístico, pois C_5^+ = 7{,}0 ultrapassa H=5, disparando o sinal de fora de controle.

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