Questão 4 (gráfico MMEP)

Uma indústria de bebidas monitora a temperatura de pasteurização de seus produtos. Para detectar variações pequenas, foi implementado um gráfico MMEP com os seguintes parâmetros:
  • Média histórica (\mu)=72^{\circ} \mathrm{C}
  • Desvio padrão ( \sigma ) =1,5^{\circ} \mathrm{C}
  • Fator de suavização (\lambda)=0,3
  • Constante de controle \mathrm{L}=3
As temperaturas médias coletadas nos últimos 6 dias foram:
[72, 73, 72.5, 74, 75, 76]
a) Calcule os valores de Zi (média móvel exponencial) para os 6 dias.
b) Calcule os limites de controle LIC e LSC para cada dia.
c) Há algum ponto fora de controle?

Passo 1

O enunciado descreve um gráfico de média móvel exponencial (EWMA) para monitorar a temperatura de pasteurização. Os parâmetros são: média histórica \mu_0=72^\circ\mathrm{C}, desvio-padrão \sigma=1,5^\circ\mathrm{C}, fator de suavização \lambda=0,3 e constante de controle L=3. As temperaturas diárias são
x_1,\dots,x_6 = 72,\;73,\;72{,}5,\;74,\;75,\;76.
Precisamos calcular:
a) os valores de Z_i (média móvel exponencial),
b) os limites de controle inferior (LIC) e superior (LSC) para cada dia,
c) verificar se há pontos fora de controle.

Passo 2

A estatística EWMA satisfaz
Z_i = \lambda\,x_i + (1-\lambda)\,Z_{i-1},\quad Z_0=\mu_0.
Com \lambda=0,3 e Z_0=72, obtemos
Z_1 = 0{,}3\cdot72 + 0{,}7\cdot72 = 72,
Z_2 = 0{,}3\cdot73 + 0{,}7\cdot72 = 72{,}3,
Z_3 = 0{,}3\cdot72{,}5 + 0{,}7\cdot72{,}3 \approx 72{,}36,
Z_4 = 0{,}3\cdot74 + 0{,}7\cdot72{,}36 \approx 72{,}852,
Z_5 = 0{,}3\cdot75 + 0{,}7\cdot72{,}852 \approx 73{,}496,
Z_6 = 0{,}3\cdot76 + 0{,}7\cdot73{,}496 \approx 74{,}247.

Passo 3

O desvio-padrão de Z_i é
\sigma_{Z_i} = \sigma\sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}\Bigl[1-(1-\lambda)^{2i}\Bigr]}\quad\text{com }2-\lambda=1{,}7.
Calculando para i=1,\dots,6:
\sigma_{Z_1}\approx1{,}5\sqrt{\tfrac{0,3}{1,7}(1-0,7^2)}\approx0{,}45,\quad \sigma_{Z_2}\approx0{,}55,\quad \sigma_{Z_3}\approx0{,}59,
\sigma_{Z_4}\approx0{,}61,\quad \sigma_{Z_5}\approx0{,}62,\quad \sigma_{Z_6}\approx0{,}63.
Os limites de controle ficam
\mathrm{LSC}_i = \mu_0 + L\,\sigma_{Z_i},\quad \mathrm{LIC}_i = \mu_0 - L\,\sigma_{Z_i}.
Substituindo L=3 e \mu_0=72:
\mathrm{LSC}_1 = 73{,}35,\;\mathrm{LIC}_1 = 70{,}65; \quad \mathrm{LSC}_2 \approx 73{,}65,\;\mathrm{LIC}_2 \approx 70{,}35;
\mathrm{LSC}_3 \approx 73{,}78,\;\mathrm{LIC}_3 \approx 70{,}22; \quad \mathrm{LSC}_4 \approx 73{,}84,\;\mathrm{LIC}_4 \approx 70{,}16;
\mathrm{LSC}_5 \approx 73{,}86,\;\mathrm{LIC}_5 \approx 70{,}14; \quad \mathrm{LSC}_6 \approx 73{,}88,\;\mathrm{LIC}_6 \approx 70{,}12.

Passo 4

Comparando cada Z_i com \mathrm{LIC}_i e \mathrm{LSC}_i, vemos que apenas
Z_6\approx74{,}247 > \mathrm{LSC}_6\approx73{,}88.
Ou seja, o ponto do dia 6 está fora de controle; os demais estão dentro dos limites.

Resposta

a) \{Z_i\}=\{72,\;72{,}3,\;72{,}36,\;72{,}852,\;73{,}496,\;74{,}247\}.
b) \mathrm{LSC}_i\approx\{73{,}35;\;73{,}65;\;73{,}78;\;73{,}84;\;73{,}86;\;73{,}88\},
\mathrm{LIC}_i\approx\{70{,}65;\;70{,}35;\;70{,}22;\;70{,}16;\;70{,}14;\;70{,}12\}.
c) Sim: o ponto do dia 6 está fora de controle.

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