Questão 2-O hidróxido de magnésio é uma base insolúvel em água. Se o { }_{2} pH de uma solução saturada de \mathrm{Mg}(\mathrm{OH}) 2 é igual a 10,49 , a 25^{\circ} \mathrm{C}, assinale a alternativa que indica uma estimativa do valor do produto de solubilidade para esta base, nesta temperatura.
1,5 \times 10-11 (lê-se: 10 elevado a -11 )
2,1 \times 10-10 (lê-se: 10 elevado a -10)
1,8 \times 10-13 (lê-se: 10 elevado a -13 )
3,4 \times 10-10 (lê-se: 10 elevado a -10 )
4,5 \times 10-9 (lê-se: 10 elevado a -9 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa do produto de solubilidade:
  • Dado: a solução saturada de \mathrm{Mg(OH)}_{2} tem \mathrm{pH}=10{,}49 à 25^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: \mathrm{Mg(OH)}_{2} é uma base pouco solúvel que se dissolve segundo a reação de equilíbrio
\mathrm{Mg(OH)}_{2}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Mg}^{2+}(aq)+2\,\mathrm{OH}^{-}(aq).
  • Pedido: estimar o valor do produto de solubilidade K_{sp} para \mathrm{Mg(OH)}_{2} a 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos e relações úteis (explicação didática):
  • O \mathrm{pH} é definido por \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^{+}]. Aqui o dado é \mathrm{pH}=10{,}49.
  • A 25^\circ\mathrm{C} vale experimentalmente \mathrm{p}K_{w}=14, onde \mathrm{p}K_{w}=-\log_{10}[H^{+}][OH^{-}]. Assim existe a relação
\mathrm{pOH}=\mathrm{p}K_{w}-\mathrm{pH}=14-\mathrm{pH}.
  • A concentração de \mathrm{OH}^{-} é obtida por
[\mathrm{OH}^{-}]=10^{-\mathrm{pOH}}.
  • Para a dissolução \mathrm{Mg(OH)}_{2}, se a solubilidade molar (em mol L ^{-1}) for s, então
[\mathrm{Mg}^{2+}]=s,\qquad [\mathrm{OH}^{-}]=2s,
porque cada mol de \mathrm{Mg(OH)}_{2} libera 1 mol de \mathrm{Mg}^{2+} e 2 mol de \mathrm{OH}^{-}.
  • O produto de solubilidade é
K_{sp}=[\mathrm{Mg}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2}=s\,(2s)^{2}=4s^{3}.
Essas fórmulas mostram como passar de \mathrm{pH} para K_{sp}.

Passo 3

Calcular \mathrm{pOH} e [\mathrm{OH}^{-}]:
\mathrm{pOH}=14-\mathrm{pH}=14-10{,}49=3{,}51.
Agora
[\mathrm{OH}^{-}]=10^{-\mathrm{pOH}}=10^{-3{,}51}.
Para avaliar 10^{-3{,}51} de forma manual, escrevo
10^{-3{,}51}=10^{-3}\cdot 10^{-0{,}51}.
Sabendo que 10^{-0{,}5}\approx0{,}31623 e 10^{-0{,}01}\approx0{,}97724, então
10^{-0{,}51}=10^{-0{,}5}\cdot10^{-0{,}01}\approx 0{,}31623\cdot0{,}97724\approx0{,}3089.
Portanto
[\mathrm{OH}^{-}]\approx 10^{-3}\cdot0{,}3089=3{,}089\times10^{-4}\\ \text{mol L}^{-1}.

Passo 4

Determinar s (a solubilidade) a partir de [\mathrm{OH}^{-}]:
[\mathrm{OH}^{-}]=2s \quad\Rightarrow\quad s=\dfrac{[\mathrm{OH}^{-}]}{2}=\dfrac{3{,}089\times10^{-4}}{2}=1{,}5445\times10^{-4}\\ \text{mol L}^{-1}.
Agora usar a expressão do K_{sp}:
K_{sp}=4s^{3}.

Passo 5

Calcular s^{3} e K_{sp} mostrando as contas:
s=1{,}5445\times10^{-4}.
Primeiro calculo s^{3}:
s^{3}=(1{,}5445\times10^{-4})^{3}=1{,}5445^{3}\times10^{-12}.
Avaliação de 1{,}5445^{3}: 1{,}5445^{2}\approx2{,}3866 e multiplicando por 1{,}5445
1{,}5445^{3}\approx3{,}687.
Logo
s^{3}\approx3{,}687\times10^{-12}.
Agora
K_{sp}=4s^{3}\approx4\times3{,}687\times10^{-12}=1{,}4748\times10^{-11}.
Arredondando de forma consistente para duas casas significativas (e lembrando que o enunciado pede uma estimativa), obtemos
K_{sp}\approx1{,}5\times10^{-11}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor estimado \;1{,}5\times10^{-11}\; coincide com a primeira alternativa.

Resposta

1{,}5\times10^{-11}

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