Questão 4. Identifique a curva, sua excentricidade, bem como seus principais elementos (inclua assíntotas, se existirem), sabendo que sua equação é
(1.5 pt) 4 x^2-2 y^2-16 x+4 y+18=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da curva
4x^2-2y^2-16x+4y+18=0
e pede para identificá-la (tipo de cônica), calcular sua excentricidade e listar seus principais elementos (centro, vértices, focos, assíntotas etc.). Vamos precisar completar quadrados e usar a forma padrão de hipérboles.

Passo 2

Primeiro, agrupamos termos em x e y e completamos os quadrados. Da equação original
4x^2-2y^2-16x+4y+18=0
fatoramos 4 nos termos de x e -2 nos termos de y:
4(x^2-4x)-2(y^2-2y)+18=0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2-4x=(x-2)^2-4,
y^2-2y=(y-1)^2-1

Passo 4

Substituindo de volta:
4l((x-2)^2-4r)-2l((y-1)^2-1r)+18=0
que dá
4(x-2)^2-16-2(y-1)^2+2+18=0
ou seja
4(x-2)^2-2(y-1)^2+4=0
e finalmente
2(y-1)^2-4(x-2)^2=4

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 4, chegamos à forma padrão
(y-1)^22-(x-2)^21=1,

Passo 6

o que mostra que é uma hipérbole com eixo transverso vertical (pois o termo positivo é o de y). Na forma
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1

Passo 7

temos centro (h,k)=(2,1), com
a^2=2, b^2=1

Passo 8

Para hipérbole, define-se
c=raiza^2+b^2=raiz2+1=raiz3,
e a excentricidade é
e=ca=raiz3raiz2=raiztfrac32

Passo 9

Os vértices ficam em
(h,kpm a)=(2,,1pmraiz2),
e os focos em
(h,kpm c)=(2,,1pmraiz3)

Passo 10

As extremidades do eixo conjugado (co-vértices) são
(hpm b,k)=(2pm1,,1)

Passo 11

As assíntotas da hipérbole são obtidas fazendo o lado direito zero:
y-1=pmab(x-2)=pmraiz2,(x-2)

Resposta

É uma hipérbole centrada em (2,1), com forma padrão
(y-1)^2/2;;(x-2)^2/1=1
A excentricidade é e=raiz3/2. Os vértices estão em (2,,1\pm\sqrt{2}); os focos em (2,,1\pm\sqrt{3}); os co-vértices em (2\pm1,,1); e as assíntotas são
y-1=pmraiz2,(x-2)

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