Questão 4. Identifique a curva, sua excentricidade, bem como seus principais elementos (inclua assíntotas, se existirem), sabendo que sua equação é
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da curva
e pede para identificá-la (tipo de cônica), calcular sua excentricidade e listar seus principais elementos (centro, vértices, focos, assíntotas etc.). Vamos precisar completar quadrados e usar a forma padrão de hipérboles.
Passo 2
Primeiro, agrupamos termos em x e y e completamos os quadrados. Da equação original
fatoramos 4 nos termos de x e -2 nos termos de y:
Passo 3
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
Passo 4
Substituindo de volta:
que dá
ou seja
e finalmente
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 4, chegamos à forma padrão
Passo 6
o que mostra que é uma hipérbole com eixo transverso vertical (pois o termo positivo é o de y). Na forma
Passo 7
temos centro
, com
Passo 8
Para hipérbole, define-se
e a excentricidade é
Passo 9
Os vértices ficam em
e os focos em
Passo 10
As extremidades do eixo conjugado (co-vértices) são
Passo 11
As assíntotas da hipérbole são obtidas fazendo o lado direito zero:
Resposta
É uma hipérbole centrada em (2,1), com forma padrão
A excentricidade é