Seja a forma bilinear de R^2 dada por f(u, v)=x1 y1+2 x1 y2-x2 y1+x2 y2. Calcular sua matriz em relação as seguintes bases:
(a) (1,1),(1,-1)
(b) (2,1),(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz que representa a forma bilinear fcolon R^2 times R^2 to R definida por f(u,v)=x1y1+2x1y2-x2y1+x2y2 em duas bases diferentes: (1,1),(1,-1) e (2,1),(1,2). Vamos usar a definição de que, em uma base (b1,b2), a entrada mij da matriz é dada por mij=f(bi,bj).

Passo 2

Para a base (1,1),(1,-1), definimos b1=(1,1) e b2=(1,-1) e calculamos: f(b1,b1)=1cdot1+2cdot1cdot1-1cdot1+1cdot1=3, f(b1,b2)=1cdot1+2cdot1cdot(-1)-1cdot1+1cdot(-1)=-3, f(b2,b1)=1cdot1+2cdot1cdot1-(-1)cdot1+(-1)cdot1=3 e f(b2,b2)=1cdot1+2cdot1cdot(-1)-(-1)cdot1+(-1)cdot(-1)=1.

Passo 3

Com esses resultados, montamos a matriz da forma bilinear nessa base:
3 & -3 3 & 1

Passo 4

Para a base (2,1),(1,2), definimos c1=(2,1), c2=(1,2) e calculamos: f(c1,c1)=2cdot2+2cdot2cdot1-1cdot2+1cdot1=7, f(c1,c2)=2cdot1+2cdot2cdot2-1cdot1+1cdot2=11, f(c2,c1)=1cdot2+2cdot1cdot1-2cdot2+2cdot1=2 e f(c2,c2)=1cdot1+2cdot1cdot2-2cdot1+2cdot2=7. A matriz nessa base é
7 & 11 2 & 7

Resposta

Para a base (1,1),(1,-1) a matriz da forma bilinear é
3 & -3 3 & 1
Para a base (2,1),(1,2) a matriz é
7 & 11 2 & 7

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