Sejam R^2 e f(u, v)=x1 y2-x2 y1 vetores de . Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(f)

Passo 1

A questão define a função f:R^2timesR^2toR dada por f(u,v)=x1y2 - x2y1, onde u=(x1,x2) e v=(y1,y2). O conteúdo é verificar bilinearidade, ou seja, linearidade em cada argumento separadamente.

Passo 2

Verificamos primeiro a linearidade em u. Dados u=(x1,x2), u'=(x'1,x'2) e escalar alpha, temos aditividade:
f(u+u',v) = (x1+x'1)y2 - (x2+x'2)y1 = x1y2 - x2y1 + x'1y2 - x'2y1 = f(u,v) + f(u',v)
e homogeneidade:
f(alpha u,v) = (alpha x1)y2 - (alpha x2)y1 = alpha (x1y2 - x2y1) = alpha f(u,v)

Passo 3

Agora verificamos linearidade em v. Dados v=(y1,y2), v'=(y'1,y'2) e escalar beta, temos aditividade:
f(u,v+v') = x1(y2+y'2) - x2(y1+y'1) = x1y2 - x2y1 + x1y'2 - x2y'1 = f(u,v) + f(u,v')
e homogeneidade:
f(u,beta v) = x1(beta y2) - x2(beta y1) = beta (x1y2 - x2y1) = beta f(u,v)

Resposta

A função é bilinear em ambos os argumentos, logo é uma forma bilinear.

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