Questão 2. Sejam A B=(1,-1,1), A C=(-2,3,1), A D=(0,1,2).
(a)(1.0pt) calcule a área do triângulo formado por A B e A C.
(b)(1.0pt) calcule o volume da pirâmide triangular formada por esses 3 vetores.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do triângulo formado pelos vetores AB e AC e o volume da pirâmide triangular gerada por AB,AC,AD. O conteúdo principal aqui é produto vetorial para área e produto misto (ou triplo) para volume.

Passo 2

Para achar o produto vetorial ABtimesAC, usamos a definição por determinante:
AB=(1,-1,1),AC=(-2,3,1)
ABtimesAC=i & j & k 1 & -1 & 1 -2 & 3 & 1=-4,i-3,j+1,k

Passo 3

O módulo desse vetor dá o dobro da área do triângulo. Calculamos:
llVertABtimesACrrVert=raiz(-4)^2+(-3)^2+1^2=raiz16+9+1=raiz26

Passo 4

Portanto a área do triângulo é metade desse módulo: Área=tfrac12raiz26Á.

Passo 5

Para o volume, usamos o produto misto (ABtimesAC)cdotAD que equivale a seis vezes o volume da pirâmide. Primeiro:
AD=(0,1,2)

Passo 6

Depois o escalar:
(ABtimesAC)cdotAD=(-4,,-3,,1)cdot(0,1,2)=-4cdot0-3cdot1+1cdot2=-1

Passo 7

O volume é o valor absoluto desse resultado dividido por 6, logo Volume=tfrac16.

Resposta

A área do triângulo é tfracraiz262 e o volume da pirâmide triangular é tfrac16.

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