Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
x^{2}-x+y^{2}-y=20.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}-x+y^{2}-y=20
que é um caso de seção cônica sem termo misto xy. Para identificar qual conic é, vamos completar o quadrado em x e em y, chegando à forma padrão.

Passo 2

Agrupando os termos em x e completando o quadrado:
x^{2}-x = x^{2}-x+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4} = \bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}.

Passo 3

Agrupando os termos em y e completando o quadrado:
y^{2}-y = y^{2}-y+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4} = \bigl(y-\tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Substituindo as duas expressões na equação original, temos
\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4} \;+\;\bigl(y-\tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4} = 20.
Somando os -\tfrac14 em um lado e passando para o outro:
\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(y-\tfrac12\bigr)^{2} = 20 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = 20{,}5 = \tfrac{41}{2}.
Isso é a forma padrão de uma circunferência.

Resposta

A curva é uma circunferência de centro em \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) e raio \sqrt{\tfrac{41}{2}}.

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