Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
-x+y^{2}-5 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva
-x + y^{2} - 5y = 0
como uma seção cônica em \mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos usar a teoria de conicidade: primeiro comparar coeficientes para ver se é parábola, elipse ou hipérbole; depois colocar em forma canônica por meio de completar o quadrado.

Passo 2

Reorganizando a equação em função de x, temos
x = y^{2} - 5y.
Agora completamos o quadrado em y:
y^{2} - 5y = \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{25}{4}.
Substituindo de volta,
x = \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{25}{4}.

Passo 3

Para evidenciar a forma padrão de parábola, isolamos o quadrado:
\bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} = x + \tfrac{25}{4}.
Comparando com a equação canônica
\tilde y^{2} = 4p\,\tilde x,
vemos que 4p=1>0, o que caracteriza uma parábola com concavidade voltada para a direita.

Passo 4

Concluímos que a curva é uma parábola com:
  • vértice em \bigl(-\tfrac{25}{4},\tfrac{5}{2}\bigr);
  • eixo de simetria paralelo ao eixo x;
  • concavidade para a direita.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em \bigl(-\tfrac{25}{4},\tfrac{5}{2}\bigr), eixo paralelo ao eixo x e abertura para a direita.

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