Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
4 x^{2}-6 x+y^{2}-10 y=62.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a curva dada por
4x^{2}-6x+y^{2}-10y=62
em \mathbb{R}^{2}. O conteúdo aqui é classificação de seções cônicas usando o discriminante e redução à forma canônica por completamento de quadrados.

Passo 2

Escrevemos os coeficientes gerais da forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0: A=4, B=0, C=1. O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot4\cdot1 = -16<0.
Como \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Agora completamos quadrados em x e y:
4 x^{2}−6x =4\bigl( x^{2}-\tfrac32x\bigr) =4\bigl[(x-\tfrac34)^{2}-\tfrac{9}{16}\bigr]
=4(x-\tfrac34)^{2}-\tfrac{9}{4}.
y^{2}-10y = (y-5)^{2}-25.
Substituindo na equação original:
4(x-\tfrac34)^{2}-\tfrac{9}{4} \;+\;(y-5)^{2}-25 \;=\;62 \quad\Longrightarrow\quad 4(x-\tfrac34)^{2}+(y-5)^{2} = 62 + \tfrac{9}{4} + 25 = \tfrac{357}{4}.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por \tfrac{357}{4}, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-\tfrac34)^{2}}{\tfrac{357}{16}} \;+\; \frac{(y-5)^{2}}{\tfrac{357}{4}} =1
Daí os semieixos são
a = \sqrt{\tfrac{357}{16}} = \frac{\sqrt{357}}{4}, \quad b = \sqrt{\tfrac{357}{4}} = \frac{\sqrt{357}}{2},
e como b>a, o eixo maior é vertical.

Resposta

A curva é uma elipse de centro \bigl(\tfrac34,5\bigr), eixos paralelos aos eixos coordenados, com semieixo horizontal \tfrac{\sqrt{357}}{4} e semieixo vertical \tfrac{\sqrt{357}}{2}, cuja equação canônica é
\frac{(x-\tfrac34)^{2}}{357/16} + \frac{(y-5)^{2}}{357/4} = 1

Exercícios relacionados