Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
-x^{2}-4 x+y^{2}+10 y=40.

Passo 1

O enunciado pede para identificar, no plano \mathbb{R}^2, a curva dada pela equação
-\,x^2 \;-\; 4x \;+\; y^2 \;+\;10y \;=\;40.
O conteúdo envolvido é a classificação de seções cônicas. Para resolver, vamos agrupar termos em x e em y, completar quadrados e comparar com as formas canônicas de cônicas (círculo, elipse, parábola, hipérbole).

Passo 2

Agrupando termos de x e de y:
-\bigl(x^2 +4x\bigr)\;+\;\bigl(y^2 +10y\bigr)\;=\;40.
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2 +4x = (x+2)^2 -4, \qquad y^2 +10y = (y+5)^2 -25.
Substituindo na equação:
-\bigl((x+2)^2 -4\bigr) \;+\;\bigl((y+5)^2 -25\bigr) = 40.
Distributando e somando constantes:
-\,(x+2)^2 +4 + (y+5)^2 -25 = 40 \quad\Longrightarrow\quad -(x+2)^2 + (y+5)^2 = 40 +25 -4 \quad\Longrightarrow\quad -(x+2)^2 + (y+5)^2 = 61.

Passo 3

Isolando a diferença de quadrados e passando o 61 para o outro lado:
(y+5)^2 - (x+2)^2 = 61.
Dividindo ambos os lados por 61 fica
\frac{(y+5)^2}{61} \;-\;\frac{(x+2)^2}{61} \;=\;1.
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Passo 4

Da forma
\frac{(y+5)^2}{61} - \frac{(x+2)^2}{61} = 1
vemos que
o centro está em (-2,-5),
o termo positivo (y+5)^2 indica que o eixo transverso é vertical,
a^2 = 61 e b^2 = 61, logo é uma hipérbole equilátera, com assíntotas
y+5 = \pm (x+2).

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em (-2,-5), com eixo transverso vertical e equação canônica
\frac{(y+5)^2}{61} - \frac{(x+2)^2}{61} = 1.

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