Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
x^{2}-7 x+y^{2}-7 y=50.

Passo 1

O enunciado pede classificar a curva em \mathbb{R}^2 dada por
x^{2}-7x+y^{2}-7y=50
ou seja, determinar de que seção cônica se trata. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos em x e em y e comparar com as formas padrão (círculo, elipse, hipérbole, parábola).

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado para x e para y:
x^{2}-7x = \bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} = \bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4},
y^{2}-7y = \bigl(y-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} = \bigl(y-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4}.

Passo 3

Substituindo na equação original:
\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4} + \bigl(y-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4} =50
\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \bigl(y-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} =50 + \tfrac{49}{4} + \tfrac{49}{4} =50 + \tfrac{49}{2} =\tfrac{100}{2} + \tfrac{49}{2} =\tfrac{149}{2}.

Passo 4

A forma
(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}
é a equação padrão de um círculo de centro (h,k) e raio r. Aqui temos h=k=\tfrac{7}{2} e
r^{2} = \tfrac{149}{2} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\tfrac{149}{2}}.

Resposta

A curva é um círculo de centro \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{7}{2}\bigr) e raio \sqrt{\tfrac{149}{2}}.

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