Questão 5(1,0 p t) \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=
\square 0 \frac{\pi}{\sqrt{a^{2}+1}} \square \pi a^{2} / 16 \pi a^{4} / 16 \frac{\pi}{\sqrt{1-a^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx
usando técnicas de integração. O conteúdo principal aqui é a substituição trigonométrica para simplificar a parte \sqrt{a^{2}-x^{2}}.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = a\sin\theta, \quad dx = a\cos\theta\,d\theta,
com os limites quando x=0 temos \theta=0 e quando x=a temos \theta=\pi/2. Note que
\sqrt{a^{2}-x^{2}} =\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} =a\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(a\sin\theta\bigr)^{2} \bigl(a\cos\theta\bigr)\,(a\cos\theta\,d\theta).
Isso se simplifica para
a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\;d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade \sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{\sin^{2}(2\theta)}{4} e depois \sin^{2}(2\theta)=\tfrac{1-\cos(4\theta)}{2}. Logo
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{1-\cos(4\theta)}{8}.
Assim,
a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(4\theta)}{8}\;d\theta =\frac{a^{4}}{8}\Bigl[\theta-\tfrac{\sin(4\theta)}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{a^{4}}{8}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi\,a^{4}}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\,a^{4}}{16}

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