Questão 6(1,0 p t) Usando a substituição trigonométria adequada, a integral \int \frac{x^{3}}{\sqrt{9+x^{2}}} d x será escrita como
\square 9 \int \operatorname{sec} ^{3}(\theta) \tan ^{2}(\theta) d \theta \square 27 \int \sin ^{3}(\theta) d \theta \square 27 \int \frac{\tan (\theta)}{\operatorname{sec} (\theta)} d \theta \square 27 \int \tan ^{3}(\theta) \operatorname{sec} (\theta) d \theta
\square 27 \int \sin ^{3}(\theta) \cos (\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx
usando uma substituição trigonométrica adequada. Como temos um radical do tipo \sqrt{a^{2}+x^{2}}, usaremos x=a\tan(\theta).

Passo 2

Escolhemos
x = 3\tan(\theta).
Dessa forma,
\sqrt{9+x^{2}} = \sqrt{9+9\tan^{2}(\theta)} = 3\operatorname{sec}(\theta) \quad\text{e}\quad dx = 3\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Agora expressamos cada parte do integrando em termos de \theta:
x^{3} = (3\tan\theta)^{3} = 27\tan^{3}\theta,
dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
\sqrt{9+x^{2}} = 3\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Substituindo em
\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx, obtemos
\int \frac{27\tan^{3}\theta\cdot 3\operatorname{sec}^{2}\theta}{3\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \int 27\,\tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Resposta

27 \int \tan^{3}(\theta)\,\operatorname{sec}(\theta)\,d\theta

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