Sendo B=\{n \mid n=2 p-1 e p \in C\}, qual é a condição sobre C para que n seja um número natural ímpar? (Valor: 0,5 )

Passo 1

O enunciado define
B = \{\,n \mid n = 2p - 1 \text{ e } p \in C\}
e pergunta qual deve ser a condição sobre C para que cada n\in B seja um número natural ímpar. Vamos precisar (1) garantir que 2p - 1 seja ímpar e (2) que 2p - 1 seja um natural positivo.

Passo 2

Para que 2p - 1 seja ímpar basta que p seja inteiro, pois
2p - 1 = \underbrace{2p}_{\text{par}} - 1
é sempre ímpar se p\in\mathbb{Z}. Logo, devemos exigir
p \in \mathbb{Z}.

Passo 3

Para que n = 2p - 1 seja natural (isto é, n\ge1), requeremos
2p - 1 \ge 1 \quad\Longrightarrow\quad 2p \ge 2 \quad\Longrightarrow\quad p \ge 1.
Assim, p deve ser um inteiro maior ou igual a 1.

Passo 4

Combinando as duas condições, concluímos que
p \in \{1,2,3,\dots\},
ou seja,
p \in \mathbb{N}^{*}.
Portanto, para que todo n=2p-1 seja um número natural ímpar, devemos ter
C \subseteq \mathbb{N}^{*}
ou, no caso mais comum,
C = \mathbb{N}^{*}.

Resposta

A condição é que
C = \{1,2,3,\dots\},
isto é, C deve ser o conjunto dos inteiros positivos.

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