Questão [int4] ( 1,0 p t ) Integre no sentido anti-horário ao redor do círculo |z|=2 a função f(z)=\frac{e^{z} \cos (z)}{(z-\pi / 2)^{2}}.
-2 \pi i e^{\frac{\pi}{2}}
\square 0 \square 2 \pi i e^{\frac{\pi}{2}} \square \pi i \square -\pi i

Passo 1

O enunciado pede para calcular, no sentido anti-horário ao redor do círculo |z|=2, a integral da função
f(z)=\frac{e^{z}\cos(z)}{(z-\pi/2)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A curva de integração é o círculo |z|=2 percorrido no sentido anti-horário.
  • A função f(z) tem um possível ponto singular em z=\pi/2 por causa do denominador (z-\pi/2)^{2}.
  • O valor numérico de \pi/2 é aproximadamente 1{,}5708, portanto |\pi/2|<2 — ou seja, o ponto z=\pi/2 está dentro do círculo de integração.
  • A integral é uma integral de contorno no plano complexo; precisamos encontrar o valor numérico (complexo) da integral.

Passo 2

Qual a ideia para resolver? Vou explicar passo a passo o princípio que usamos (não se assuste, é direto e muito útil na prova):
Quando se integra uma função meromorfa em um contorno fechado no sentido anti-horário, a integral vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos que estiverem dentro do contorno (Teorema dos Resíduos). Aqui temos apenas um ponto singular dentro do círculo: z_{0}=\pi/2. Assim, a integral procurada é
\oint_{|z|=2} f(z)\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\bigl(f; z_{0}\bigr),
onde \operatorname{Res}(f; z_{0}) é o resíduo de f em z_{0}.

Passo 3

Como calcular o resíduo quando há um polo de ordem 2? Há uma fórmula simples e prática: se f tem um polo de ordem m em z=a, então
\operatorname{Res}(f;a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\bigl[(z-a)^{m}f(z)\bigr].
No nosso caso m=2 e a=\pi/2. Substituindo m=2 a fórmula fica
\operatorname{Res}\bigl(f;\pi/2\bigr)=\lim_{z\to \pi/2}\frac{d}{dz}\bigl[(z-\pi/2)^{2}f(z)\bigr].
Ou seja: multiplico f por (z-\pi/2)^{2} (que cancela o denominador) e tomo a derivada primeiro, depois avalio em z=\pi/2.

Passo 4

Calculemos (z-\pi/2)^{2}f(z). Como (z-\pi/2)^{2}f(z)=e^{z}\cos z, temos de calcular a derivada de g(z)=e^{z}\cos z. Vou fazer a derivada aplicando a regra do produto de forma explicada:
Se g(z)=u(z)\,v(z) com u(z)=e^{z} e v(z)=\cos z, então
g'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Aqui u'(z)=e^{z} e v'(z)=-\sin z. Logo
g'(z)=e^{z}\cos z + e^{z}(-\sin z)=e^{z}(\cos z - \sin z).

Passo 5

Agora avaliamos g'(z) em z=\pi/2. Sabemos que \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Substituindo:
g'\bigl(\pi/2\bigr)=e^{\pi/2}\bigl(\cos(\pi/2)-\sin(\pi/2)\bigr)=e^{\pi/2}(0-1)=-e^{\pi/2}.
Portanto o resíduo é
\operatorname{Res}\bigl(f;\pi/2\bigr)=-e^{\pi/2}.

Passo 6

Voltando à integral pelo Teorema dos Resíduos:
\oint_{|z|=2} f(z)\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\bigl(f;\pi/2\bigr)=2\pi i\cdot\bigl(-e^{\pi/2}\bigr)=-2\pi i\,e^{\pi/2}.
Como a orientação é anti-horária (positiva), usamos +2\pi i na fórmula — o sinal negativo veio do resíduo.

Resposta

-2\pi i\,e^{\pi/2}

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