Questão [int4] (
) Integre no sentido anti-horário ao redor do círculo
a função
.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular, no sentido anti-horário ao redor do círculo
, a integral da função
Informações relevantes dadas:
- A curva de integração é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. - A função
tem um possível ponto singular em por causa do denominador . - O valor numérico de
é aproximadamente , portanto — ou seja, o ponto está dentro do círculo de integração. - A integral é uma integral de contorno no plano complexo; precisamos encontrar o valor numérico (complexo) da integral.
Passo 2
Qual a ideia para resolver? Vou explicar passo a passo o princípio que usamos (não se assuste, é direto e muito útil na prova):
Quando se integra uma função meromorfa em um contorno fechado no sentido anti-horário, a integral vale
vezes a soma dos resíduos dos polos que estiverem dentro do contorno (Teorema dos Resíduos). Aqui temos apenas um ponto singular dentro do círculo:
. Assim, a integral procurada é
onde
é o resíduo de
em
.
Passo 3
Como calcular o resíduo quando há um polo de ordem 2? Há uma fórmula simples e prática: se
tem um polo de ordem
em
, então
No nosso caso
e
. Substituindo
a fórmula fica
Ou seja: multiplico
por
(que cancela o denominador) e tomo a derivada primeiro, depois avalio em
.
Passo 4
Calculemos
. Como
, temos de calcular a derivada de
. Vou fazer a derivada aplicando a regra do produto de forma explicada:
Se
com
e
, então
Aqui
e
. Logo
Passo 5
Agora avaliamos
em
. Sabemos que
e
. Substituindo:
Portanto o resíduo é
Passo 6
Voltando à integral pelo Teorema dos Resíduos:
Como a orientação é anti-horária (positiva), usamos
na fórmula — o sinal negativo veio do resíduo.