QUESTÃO 5 - Interpolador de Newton

A velocidade de um corpo foi medida em três diferentes instantes de acordo com a tabela abaixo.
Tempo (\mathrm{t}, em segundos ) 5 9 13
Velocidade (\mathrm{v}, \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}) 106,8 177,2 279,2
a) Assumindo que a velocidade do corpo pode ser aproximada por uma função quadrática v(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} determine uma aproximação de \mathrm{v}(\mathrm{t}) usando o polinômio interpolador de Newton
b) Dê a aproximação da velocidade em \mathrm{t}=10 segundos, usando o polinômio obtido em (a).
c) Calcule o valor aproximado da distância D total percorrida pelo corpo no intervalo de tempo [ 5,13 ] segundos, sabendo que essa distância é dada pela integral de v(t) neste intervalo, ou seja, D=\int_{5}^{13} v(t) d t.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com três medidas de tempo e velocidade e pede três coisas:
  • Dados: \;t=5,\;9,\;13 (segundos) com \;v(5)=106{,}8,\;v(9)=177{,}2,\;v(13)=279{,}2 (m/s).
  • (a) Encontrar uma aproximação polinomial \;v(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} usando o polinômio interpolador de Newton.
  • (b) Usar o polinômio de (a) para aproximar \;v(10).
  • (c) Calcular a distância total percorrida \;D=\int_{5}^{13} v(t)\,dt usando o polinômio obtido.
Vou trabalhar com os pontos (5,106{,}8),\,(9,177{,}2),\,(13,279{,}2). A seguir calculamos passo a passo o interpolador de Newton e as quantidades pedidas.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida, sem pânico): o polinômio interpolador de Newton para três pontos usa a forma
P(t)=f[t_0]+f[t_0,t_1](t-t_0)+f[t_0,t_1,t_2](t-t_0)(t-t_1),
onde f[t_i] são as diferenças divididas:
f[t_i]=f(t_i),
f[t_i,t_{i+1}]=\frac{f(t_{i+1})-f(t_i)}{t_{i+1}-t_i},
f[t_0,t_1,t_2]=\frac{f[t_1,t_2]-f[t_0,t_1]}{t_2-t_0}.
Aqui t_0=5,\;t_1=9,\;t_2=13. Vou calcular cada diferença dividida e usar essa fórmula. Isso nos dá diretamente os coeficientes na forma de Newton; depois podemos expandir para a forma quadrática padrão se quisermos.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas com os valores fornecidos.
  • Primeiro nível (valores nos nós):
f[5]=106{,}8,\qquad f[9]=177{,}2,\qquad f[13]=279{,}2.
  • Primeiras diferenças divididas:
f[5,9]=\frac{f(9)-f(5)}{9-5}=\frac{177{,}2-106{,}8}{4}=\frac{70{,}4}{4}=17{,}6.
f[9,13]=\frac{f(13)-f(9)}{13-9}=\frac{279{,}2-177{,}2}{4}=\frac{102{,}0}{4}=25{,}5.
  • Segunda diferença dividida (coeficiente do termo quadrático na forma de Newton):
f[5,9,13]=\frac{f[9,13]-f[5,9]}{13-5}=\frac{25{,}5-17{,}6}{8}=\frac{7{,}9}{8}=0{,}9875.

Passo 4

Montando o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados:
P(t)=f[5]+f[5,9](t-5)+f[5,9,13](t-5)(t-9).
Substituindo números:
\boxed{P(t)=106{,}8+17{,}6\,(t-5)+0{,}9875\,(t-5)(t-9).}
Esse é o polinômio interpolador de Newton pedido em (a). Se quiser a forma quadrática padrão, expando passo a passo:
  • Calcule (t-5)(t-9)=t^{2}-14t+45.
  • Multiplique por 0{,}9875:
0{,}9875(t^{2}-14t+45)=0{,}9875t^{2}-13{,}825t+44{,}4375.
  • Some 17{,}6(t-5)=17{,}6t-88 e 106{,}8:
P(t)=0{,}9875t^{2}+(-13{,}825t+17{,}6t)+ (44{,}4375-88+106{,}8).
  • Simplificando os coeficientes:
P(t)=0{,}9875t^{2}+3{,}775t+63{,}2375.
Ambas as formas representam o mesmo polinômio (a forma de Newton é especialmente prática para avaliar em pontos).

Passo 5

Parte (b): calcular \;v(10)=P(10).
Usamos a forma de Newton porque é curta:
P(10)=106{,}8+17{,}6\,(10-5)+0{,}9875\,(10-5)(10-9).
Calcule passo a passo:
17{,}6\,(10-5)=17{,}6\cdot 5=88,
0{,}9875\,(10-5)(10-9)=0{,}9875\cdot 5\cdot 1=4{,}9375.
Somando:
P(10)=106{,}8+88+4{,}9375=199{,}7375.
Portanto a aproximação da velocidade em t=10 s é \;199{,}7375 m/s.

Passo 6

Parte (c): calcular D=\displaystyle\int_{5}^{13} P(t)\,dt.
É fácil integrar um polinômio: \displaystyle\int t^n dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}. Usando a forma expandida
P(t)=0{,}9875t^{2}+3{,}775t+63{,}2375,
uma primitiva é
F(t)=\frac{0{,}9875}{3}t^{3}+\frac{3{,}775}{2}t^{2}+63{,}2375\,t.
Para reduzir erros, observe que 0{,}9875=\tfrac{79}{80},\;3{,}775=\tfrac{151}{40},\;63{,}2375=\tfrac{5059}{80}. Assim
F(t)=\frac{79}{240}t^{3}+\frac{151}{80}t^{2}+\frac{5059}{80}t.
Calcule F(13) e F(5) separadamente:
  • F(13)=\dfrac{79}{240}\cdot 13^{3}+\dfrac{151}{80}\cdot 13^{2}+\dfrac{5059}{80}\cdot 13. 13^{3}=2197,\quad 13^{2}=169.
F(13)=\frac{79\cdot 2197}{240}+\frac{151\cdot 169}{80}+\frac{5059\cdot 13}{80} =723{,}179166\dots+318{,}9875+822{,}0875 =1864{,}254166\dots
  • F(5)=\dfrac{79}{240}\cdot 125+\dfrac{151}{80}\cdot 25+\dfrac{5059}{80}\cdot 5. F(5)=41{,}1458333\dots+47{,}1875+316{,}1875=404{,}5208333\dots
Agora subtrai:
D=F(13)-F(5)=1864{,}254166\dots-404{,}5208333\dots=1459{,}733333\dots
Portanto a distância aproximada percorrida no intervalo [5,13] é \;1459{,}733333\ldots metros (pode ser escrito como 1459{,}7333 m, ou exatamente \dfrac{21896}{15} m se preferir a forma fracionária).

Resposta

(a) \;P(t)=106{,}8+17{,}6\,(t-5)+0{,}9875\,(t-5)(t-9)=0{,}9875t^{2}+3{,}775t+63{,}2375.\n
(b) \;v(10)=199{,}7375 (m/s).\n
(c) \;D=\displaystyle\int_{5}^{13}P(t)\,dt=1459{,}733333\ldots (m).

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