QUESTÃO 5 - Interpolador de Newton
A velocidade de um corpo foi medida em três diferentes instantes de acordo com a tabela abaixo.
Tempo
, em segundos
5
9
13
Velocidade
106,8
177,2
279,2
a) Assumindo que a velocidade do corpo pode ser aproximada por uma função quadrática
determine uma aproximação de
usando o polinômio interpolador de Newton
b) Dê a aproximação da velocidade em
segundos, usando o polinômio obtido em (a).
c) Calcule o valor aproximado da distância D total percorrida pelo corpo no intervalo de tempo [ 5,13 ] segundos, sabendo que essa distância é dada pela integral de
neste intervalo, ou seja,
.
| Tempo
|
5 | 9 | 13 |
| Velocidade
|
106,8 | 177,2 | 279,2 |
b) Dê a aproximação da velocidade em
c) Calcule o valor aproximado da distância D total percorrida pelo corpo no intervalo de tempo [ 5,13 ] segundos, sabendo que essa distância é dada pela integral de
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com três medidas de tempo e velocidade e pede três coisas:
- Dados:
(segundos) com (m/s). - (a) Encontrar uma aproximação polinomial
usando o polinômio interpolador de Newton. - (b) Usar o polinômio de (a) para aproximar
. - (c) Calcular a distância total percorrida
usando o polinômio obtido.
Vou trabalhar com os pontos
. A seguir calculamos passo a passo o interpolador de Newton e as quantidades pedidas.
Passo 2
Explicando o método (aula rápida, sem pânico): o polinômio interpolador de Newton para três pontos usa a forma
onde
são as diferenças divididas:
Aqui
. Vou calcular cada diferença dividida e usar essa fórmula. Isso nos dá diretamente os coeficientes na forma de Newton; depois podemos expandir para a forma quadrática padrão se quisermos.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas com os valores fornecidos.
- Primeiro nível (valores nos nós):
- Primeiras diferenças divididas:
- Segunda diferença dividida (coeficiente do termo quadrático na forma de Newton):
Passo 4
Montando o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados:
Substituindo números:
Esse é o polinômio interpolador de Newton pedido em (a). Se quiser a forma quadrática padrão, expando passo a passo:
- Calcule
. - Multiplique por
:
- Some
e :
- Simplificando os coeficientes:
Ambas as formas representam o mesmo polinômio (a forma de Newton é especialmente prática para avaliar em pontos).
Passo 5
Parte (b): calcular
.
Usamos a forma de Newton porque é curta:
Usamos a forma de Newton porque é curta:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto a aproximação da velocidade em
s é
m/s.
Passo 6
Parte (c): calcular
.
É fácil integrar um polinômio: . Usando a forma expandida
É fácil integrar um polinômio:
uma primitiva é
Para reduzir erros, observe que
. Assim
Calcule
e
separadamente:
-
.
-
.
Agora subtrai:
Portanto a distância aproximada percorrida no intervalo
é
metros (pode ser escrito como
m, ou exatamente
m se preferir a forma fracionária).
Resposta
(a)
\n
(b) (m/s).\n
(c) (m).
(b)
(c)