QUESTÃO 1 - Interpolador de Lagrange
Seja a função contínua
com seu gráfico passando nos pontos
e
.
a) Encontre os coeficientes do polinômio quadrático
usando do polinômio interpolador de Lagrange;
b) Dê o valor aproximado de
.
a) Encontre os coeficientes do polinômio quadrático
b) Dê o valor aproximado de
Passo 1
O enunciado dá que o gráfico de
passa pelos pontos
,
e
. As perguntas são:
(a) Encontrar os coeficientes do polinômio quadrático usando o polinômio interpolador de Lagrange.
(b) Calcular o valor aproximado de (ou seja, avaliar o polinômio interpolador em
).
Informações relevantes: os três pares são
,
,
. Nada mais é dado.
(a) Encontrar os coeficientes do polinômio quadrático
(b) Calcular o valor aproximado de
Informações relevantes: os três pares
Passo 2
Ideia do método de Lagrange (explicação didática): com três pontos com abscissas distintas
podemos construir um polinômio de grau
que passa exatamente por esses pontos. A fórmula é
onde cada polinômio base
é construído para valer
em
e
nos outros nós. Explicitamente,
Aqui
são os valores dados (as ordenadas) e
são os nós (as abscissas). A vantagem: somando
obtemos diretamente o polinômio interpolador sem resolver sistemas lineares.
Passo 3
Calcular
para o nó
. Usando a fórmula:
O denominador é
. Portanto
Expandindo o numerador:
. Logo
Passo 4
Calcular
para o nó
:
Então
Expandindo:
, portanto
Passo 5
Calcular
para o nó
:
Assim
Expandindo:
, então
Passo 6
Montar o polinômio interpolador
com
. Substituindo:
Agora substituímos as expressões expandidas de
:
Passo 7
Calcular termo a termo:
Passo 8
Somar os coeficientes de
, de
e o termo constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto o polinômio na forma padrão é
Aqui
.
Passo 9
Verificação rápida (é sempre bom checar quando dá tempo):
(ok),
(ok),
(ok). Assim o polinômio realmente passa pelos três pontos.
Passo 10
Calcular
aproximado usando o polinômio
. Avaliando em
:
Calcule termo a termo:
Logo
Esse é o valor aproximado de
dado pelo interpolador quadrático.
Resposta
(a)
(b)
(b)