QUESTÃO 1 - Interpolador de Lagrange

Seja a função contínua y=f(x) com seu gráfico passando nos pontos (0,5),(1,4) e (3,11).
a) Encontre os coeficientes do polinômio quadrático y=a x^{2}+b x+c usando do polinômio interpolador de Lagrange;
b) Dê o valor aproximado de f(2).

Passo 1

O enunciado dá que o gráfico de y=f(x) passa pelos pontos (0,5), (1,4) e (3,11). As perguntas são:
(a) Encontrar os coeficientes do polinômio quadrático y = a x^{2} + b x + c usando o polinômio interpolador de Lagrange.
(b) Calcular o valor aproximado de f(2) (ou seja, avaliar o polinômio interpolador em x=2).
Informações relevantes: os três pares (x_i,y_i) são (x_0,y_0)=(0,5), (x_1,y_1)=(1,4), (x_2,y_2)=(3,11). Nada mais é dado.

Passo 2

Ideia do método de Lagrange (explicação didática): com três pontos com abscissas distintas (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) podemos construir um polinômio de grau \le2 que passa exatamente por esses pontos. A fórmula é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é construído para valer 1 em x_i e 0 nos outros nós. Explicitamente,
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui y_i são os valores dados (as ordenadas) e x_i são os nós (as abscissas). A vantagem: somando y_i L_i(x) obtemos diretamente o polinômio interpolador sem resolver sistemas lineares.

Passo 3

Calcular L_0(x) para o nó x_0=0. Usando a fórmula:
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-1)(x-3)}{(0-1)(0-3)}.
O denominador é (0-1)(0-3)=(-1)(-3)=3. Portanto
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{3}.
Expandindo o numerador: (x-1)(x-3)=x^2-4x+3. Logo
L_0(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1.

Passo 4

Calcular L_1(x) para o nó x_1=1:
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{x(x-3)}{(1-0)(1-3)}=\frac{x(x-3)}{1\cdot(-2)}.
Então
L_1(x)=-\frac{x(x-3)}{2}.
Expandindo: x(x-3)=x^2-3x, portanto
L_1(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x.

Passo 5

Calcular L_2(x) para o nó x_2=3:
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{x(x-1)}{(3-0)(3-1)}=\frac{x(x-1)}{3\cdot2}.
Assim
L_2(x)=\frac{x(x-1)}{6}.
Expandindo: x(x-1)=x^2-x, então
L_2(x)=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{6}x.

Passo 6

Montar o polinômio interpolador p(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x) com y_0=5,\;y_1=4,\;y_2=11. Substituindo:
p(x)=5L_0(x)+4L_1(x)+11L_2(x).
Agora substituímos as expressões expandidas de L_i(x):

Passo 7

Calcular termo a termo:
5L_0(x)=5\Big(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\Big)=\frac{5}{3}x^2-\frac{20}{3}x+5,
4L_1(x)=4\Big(-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x\Big)=-2x^2+6x,
11L_2(x)=11\Big(\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{6}x\Big)=\frac{11}{6}x^2-\frac{11}{6}x.

Passo 8

Somar os coeficientes de x^2, de x e o termo constante:
Coeficiente de x^2:
\frac{5}{3}-2+\frac{11}{6}=\frac{10}{6}-\frac{12}{6}+\frac{11}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.
Coeficiente de x:
-\frac{20}{3}+6-\frac{11}{6}=-\frac{40}{6}+\frac{36}{6}-\frac{11}{6}=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}.
Termo constante:
5+0+0=5.
Portanto o polinômio na forma padrão é
p(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{5}{2}x+5.
Aqui a=\frac{3}{2},\; b=-\frac{5}{2},\; c=5.

Passo 9

Verificação rápida (é sempre bom checar quando dá tempo):
p(0)=5 (ok),
p(1)=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}+5=4 (ok),
p(3)=\frac{27}{2}-\frac{15}{2}+5=\frac{12}{2}+5=6+5=11 (ok). Assim o polinômio realmente passa pelos três pontos.

Passo 10

Calcular f(2) aproximado usando o polinômio p(x). Avaliando em x=2:
p(2)=\frac{3}{2}\cdot 2^2 - \frac{5}{2}\cdot 2 + 5 = \frac{3}{2}\cdot4 - \frac{5}{2}\cdot2 +5.
Calcule termo a termo:
\frac{3}{2}\cdot4=6,\qquad \frac{5}{2}\cdot2=5.
Logo
p(2)=6-5+5=6.
Esse é o valor aproximado de f(2) dado pelo interpolador quadrático.

Resposta

(a) a=\frac{3}{2},\; b=-\frac{5}{2},\; c=5
(b) f(2)=6

Exercícios relacionados