QUESTÃO 3- Operador de Diferença Dividida e de Diferença Finita

Os pontos (-2,-7),(0,5),(1,3.5),(4,5),(5,17.5),(8,133) foram obtidos de um polinômio de grau n.
a) Obtenha a tabela com as diferenças divididas;
b) Obtenha a tabela com as diferenças finitas;
c) Baseado nas tabelas acima, qual é o grau desse polinômio?

Passo 1

O enunciado dá os pontos
(-2,-7),\; (0,5),\; (1,3,5),\; (4,5),\; (5,17,5),\; (8,133),
e pede três coisas:
  1. (a) obter a tabela com as diferenças divididas;
  2. (b) obter a tabela com as diferenças finitas (forward differences) da sequência de valores y;
  3. (c) a partir das tabelas, dizer qual é o grau do polinômio que gerou esses pontos.
Informações relevantes fornecidas: os pares (x_i,y_i) são exatamente
\begin{aligned} x_0&=-2,& y_0&=-7,\\\ x_1&=0,& y_1&=5,\\\ x_2&=1,& y_2&=3,5,\\\ x_3&=4,& y_3&=5,\\\ x_4&=5,& y_4&=17,5,\\\ x_5&=8,& y_5&=133. \end{aligned}
A partir desses valores vamos construir passo a passo as duas tabelas e interpretar o que cada tabela nos diz sobre o grau do polinômio.

Passo 2

O que é e como calcular diferenças divididas (fórmula e ideia):
  • A diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j) é definida por
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
onde f(x_k)=y_k. Aqui x_j\neq x_i.
  • A diferença dividida de ordem k (com nós consecutivos) é obtida recursivamente por
f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
  • Para um polinômio de grau n, todas as diferenças divididas de ordem maior que n são zero. Essa propriedade será usada para identificar o grau.
Vamos calcular as diferenças divididas coluna a coluna (começando pela coluna de ordem 0 com os y_i).

Passo 3

Diferenças divididas de ordem 0 (simplesmente os y):
\begin{aligned} f[x_0]&=f(-2)=-7,\\\ f[x_1]&=f(0)=5,\\\ f[x_2]&=f(1)=3,5,\\\ f[x_3]&=f(4)=5,\\\ f[x_4]&=f(5)=17,5,\\\ f[x_5]&=f(8)=133. \end{aligned}
Agora ordem 1: aplicando a fórmula \;f[x_i,x_{i+1}]=(y_{i+1}-y_i)/(x_{i+1}-x_i)\;.
Cálculos:
\begin{aligned} f[x_0,x_1]&=\frac{5-(-7)}{0-(-2)}=\frac{12}{2}=6,\\[4pt] f[x_1,x_2]&=\frac{3,5-5}{1-0}=\frac{-1,5}{1}=-1,5,\\[4pt] f[x_2,x_3]&=\frac{5-3,5}{4-1}=\frac{1,5}{3}=0,5,\\[4pt] f[x_3,x_4]&=\frac{17,5-5}{5-4}=\frac{12,5}{1}=12,5,\\[4pt] f[x_4,x_5]&=\frac{133-17,5}{8-5}=\frac{115,5}{3}=38,5. \end{aligned}]

Passo 4

Diferenças divididas de ordem 2: usar
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Cálculos:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2]&=\frac{-1,5-6}{1-(-2)}=\frac{-7,5}{3}=-2,5,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3]&=\frac{0,5-(-1,5)}{4-0}=\frac{2,0}{4}=0,5,\\[4pt] f[x_2,x_3,x_4]&=\frac{12,5-0,5}{5-1}=\frac{12,0}{4}=3,0,\\[4pt] f[x_3,x_4,x_5]&=\frac{38,5-12,5}{8-4}=\frac{26,0}{4}=6,5. \end{aligned}]

Passo 5

Diferenças divididas de ordem 3: usar fórmula geral com k=3:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]-f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]}{x_{i+3}-x_i}.
Cálculos:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2,x_3]&=\frac{0,5-(-2,5)}{4-(-2)}=\frac{3,0}{6}=0,5,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3,x_4]&=\frac{3,0-0,5}{5-0}=\frac{2,5}{5}=0,5,\\[4pt] f[x_2,x_3,x_4,x_5]&=\frac{6,5-3,0}{8-1}=\frac{3,5}{7}=0,5. \end{aligned}
Observação: as três quantidades deram o mesmo valor \;0,5\;.]

Passo 6

Diferenças divididas de ordem 4 e 5 (continuação):
\begin{aligned} f[x_0,\dots,x_4]&=\frac{0,5-0,5}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0,\\[4pt] f[x_1,\dots,x_5]&=\frac{0,5-0,5}{8-0}=\frac{0}{8}=0,\\[4pt] f[x_0,\dots,x_5]&=\frac{0-0}{8-(-2)}=\frac{0}{10}=0. \end{aligned}
Conclusão intermediária: a primeira coluna não nula além das ordens 0,1,2,3 tem ordem 3 (valor 0,5); as ordens 4 e 5 são zero. Isso já indica grau 3 (veremos a interpretação no passo seguinte).]

Passo 7

Agora construímos a tabela de diferenças finitas (forward differences) da sequência de y.
Breve explicação do que são diferenças finitas:
  • A diferença finita forward de primeira ordem aplicada à sequência y_i é \Delta y_i = y_{i+1}-y_i.
  • A diferença finita de ordem k é \Delta^k y_i=\Delta^{k-1} y_{i+1}-\Delta^{k-1} y_i.
    Importante: para usar diferenças finitas para concluir diretamente o grau do polinômio é necessário que os nós x_i estejam igualmente espaçados. Aqui os x_i não têm espaçamento uniforme, então a tabela de diferenças finitas é apenas a diferença da sequência y_i, e não garante a mesma interpretação direta que a tabela de diferenças divididas. Mesmo assim, a tabela é pedida no enunciado, então a calculamos.
Cálculos (forward differences):
Ordem 0 (os y_i):
y_0=-7,\; y_1=5,\; y_2=3,5,\; y_3=5,\; y_4=17,5,\; y_5=133.
Ordem 1 ( \Delta y_i=y_{i+1}-y_i):
\Delta y_0=12,\; \Delta y_1=-1,5,\; \Delta y_2=1,5,\; \Delta y_3=12,5,\; \Delta y_4=115,5.
Ordem 2 ( \Delta^2 y_i):
\Delta^2 y_0=-13,5,\; \Delta^2 y_1=3,0,\; \Delta^2 y_2=11,0,\; \Delta^2 y_3=103,0.
Ordem 3 ( \Delta^3 y_i):
\Delta^3 y_0=16,5,\; \Delta^3 y_1=8,0,\; \Delta^3 y_2=92,0.
Ordem 4 ( \Delta^4 y_i):
\Delta^4 y_0=-8,5,\; \Delta^4 y_1=84,0.
Ordem 5 ( \Delta^5 y_0):
\Delta^5 y_0=92,5.
Observe que as diferenças finitas não ficaram constantes em nenhuma ordem e a quinta diferença não é zero — isso acontece porque os x_i não são igualmente espaçados; portanto as diferenças finitas não seguem a propriedade de “k-ésima diferença constante para polinômio de grau k” quando o espaçamento não é uniforme. As diferenças divididas, por outro lado, incorporam explicitamente os espaçamentos e por isso indicam corretamente o grau.

Passo 8

Interpretação final e justificativa do grau:
  • Para um polinômio de grau n, todas as diferenças divididas de ordem superior a n são zero. Na nossa tabela de diferenças divididas vimos que as diferenças de ordem 3 são iguais a 0,5 (não nulas), enquanto as de ordens 4 e 5 são 0. Portanto o último nível não-nulo é a ordem 3.
  • Logo o polinômio que gerou os pontos tem grau n=3.

Resposta

(a)
\begin{array}{c|cccccc} x & f[x] & f[x,x] & f[x,x,x] & f[x,x,x,x] & f[x,x,x,x,x] \\\ \hline -2 & -7 & 6 & -2,5 & 0,5 & 0 \\\\ 0 & 5 & -1,5 & 0,5 & 0 & \\\\ 1 & 3,5 & 0,5 & 3,0 & & \\\\ 4 & 5 & 12,5 & 6,5 & & \\\\ 5 & 17,5 & 38,5 & & & \\\\ 8 & 133 & & & & \end{array}
(b)
\begin{array}{c|ccccc} \text{ordem} & \Delta^0 & \Delta^1 & \Delta^2 & \Delta^3 & \Delta^4 & \Delta^5 \\\ \hline i=0 & -7 & 12 & -13,5 & 16,5 & -8,5 & 92,5 \\\ i=1 & 5 & -1,5 & 3,0 & 8,0 & 84,0 & \\\ i=2 & 3,5 & 1,5 & 11,0 & 92,0 & & \\\ i=3 & 5 & 12,5 & 103,0 & & & \\\ i=4 & 17,5 & 115,5 & & & & \\\ i=5 & 133 & & & & & \end{array}
(c) n=3

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