QUESTÃO 3- Operador de Diferença Dividida e de Diferença Finita
Os pontos
foram obtidos de um polinômio de grau
.
a) Obtenha a tabela com as diferenças divididas;
b) Obtenha a tabela com as diferenças finitas;
c) Baseado nas tabelas acima, qual é o grau desse polinômio?
a) Obtenha a tabela com as diferenças divididas;
b) Obtenha a tabela com as diferenças finitas;
c) Baseado nas tabelas acima, qual é o grau desse polinômio?
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e pede três coisas:
- (a) obter a tabela com as diferenças divididas;
- (b) obter a tabela com as diferenças finitas (forward differences) da sequência de valores
; - (c) a partir das tabelas, dizer qual é o grau do polinômio que gerou esses pontos.
Informações relevantes fornecidas: os pares
são exatamente
A partir desses valores vamos construir passo a passo as duas tabelas e interpretar o que cada tabela nos diz sobre o grau do polinômio.
Passo 2
O que é e como calcular diferenças divididas (fórmula e ideia):
- A diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos
e é definida por
onde
. Aqui
.
- A diferença dividida de ordem
(com nós consecutivos) é obtida recursivamente por
- Para um polinômio de grau
, todas as diferenças divididas de ordem maior que são zero. Essa propriedade será usada para identificar o grau.
Vamos calcular as diferenças divididas coluna a coluna (começando pela coluna de ordem 0 com os
).
Passo 3
Diferenças divididas de ordem 0 (simplesmente os
):
Agora ordem 1: aplicando a fórmula
.
Cálculos:
Passo 4
Diferenças divididas de ordem 2: usar
Cálculos:
Passo 5
Diferenças divididas de ordem 3: usar fórmula geral com
:
Cálculos:
Observação: as três quantidades deram o mesmo valor
.]
Passo 6
Diferenças divididas de ordem 4 e 5 (continuação):
Conclusão intermediária: a primeira coluna não nula além das ordens 0,1,2,3 tem ordem
(valor
); as ordens
e
são zero. Isso já indica grau
(veremos a interpretação no passo seguinte).]
Passo 7
Agora construímos a tabela de diferenças finitas (forward differences) da sequência de
.
Breve explicação do que são diferenças finitas:
Breve explicação do que são diferenças finitas:
- A diferença finita forward de primeira ordem aplicada à sequência
é . - A diferença finita de ordem
é .
Importante: para usar diferenças finitas para concluir diretamente o grau do polinômio é necessário que os nósestejam igualmente espaçados. Aqui os não têm espaçamento uniforme, então a tabela de diferenças finitas é apenas a diferença da sequência , e não garante a mesma interpretação direta que a tabela de diferenças divididas. Mesmo assim, a tabela é pedida no enunciado, então a calculamos.
Cálculos (forward differences):
Ordem 0 (os
):
Ordem 1 (
):
Ordem 2 (
):
Ordem 3 (
):
Ordem 4 (
):
Ordem 5 (
):
Observe que as diferenças finitas não ficaram constantes em nenhuma ordem e a quinta diferença não é zero — isso acontece porque os
não são igualmente espaçados; portanto as diferenças finitas não seguem a propriedade de “k-ésima diferença constante para polinômio de grau k” quando o espaçamento não é uniforme. As diferenças divididas, por outro lado, incorporam explicitamente os espaçamentos e por isso indicam corretamente o grau.
Passo 8
Interpretação final e justificativa do grau:
- Para um polinômio de grau
, todas as diferenças divididas de ordem superior a são zero. Na nossa tabela de diferenças divididas vimos que as diferenças de ordem são iguais a (não nulas), enquanto as de ordens e são . Portanto o último nível não-nulo é a ordem . - Logo o polinômio que gerou os pontos tem grau
.
Resposta
(a)
(b)
(c)