Questão 5: Resolva o problema max x s.a x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=c_{1}+c_{2}+c_{3}+5 e x+3 y+4 z=0 usando o método de multiplicadores e formas e justifique o emprego dos mesmos. Determine se os Teoremas 3.1.3 e 3.3.1 podem ser usados.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Variáveis: x,y,z\). - Constantes: \(c_{1},c_{2},c_{3}\). Defino \(K := c_{1}+c_{2}+c_{3}+5\) (é um número dado). - Objetivo: maximizar \(x\) sujeito às duas restrições: \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+4z^{2}=K,\\[4pt] x+3y+4z=0. \end{cases}
  • Pedidos explícitos:
    1. Encontrar o ponto(s) (x,y,z)\] que maximizam \(x (e identificar mínimo simetricamente).
    2. Resolver usando o método dos multiplicadores e também usando o método das formas (formas diferenciais).
    3. Justificar o emprego desses métodos.
    4. Dizer se os Teoremas 3.1.3 e 3.3.1 podem ser usados (sim/não com justificativa).]

Passo 2

Montagem do método dos multiplicadores (ideia e equações fundamentais).
  • Ideia didática (multiplicadores de Lagrange): para buscar extremos de f(x,y,z) sujeitos a restrições g_{1}=0 e g_{2}=0, enquanto as gradientes \nabla g_{1} e \nabla g_{2} forem linearmente independentes, qualquer ponto extremo interior satisfaz \nabla f=\lambda\,\nabla g_{1}+\mu\,\nabla g_{2},para multiplicadores \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Aqui f(x,y,z)=x, g_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+4z^{2}-K, g_{2}(x,y,z)=x+3y+4z.
  • Calculo das gradientes: \nabla f=(1,0,0),\qquad \nabla g_{1}=(2x,2y,8z),\qquad \nabla g_{2}=(1,3,4).
  • Condição de Lagrange: (1,0,0)=\lambda(2x,2y,8z)+\mu(1,3,4).Igualando componentes obtém-se o sistema \begin{cases} 1=2\lambda x+\mu,\\[4pt] 0=2\lambda y+3\mu,\\[4pt] 0=8\lambda z+4\mu, \end{cases}junto com as restrições \begin{cases} x^{2}+y^{2}+4z^{2}=K,\\[4pt] x+3y+4z=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema dos multiplicadores (passo a passo, sem pular etapas).
  • Das duas últimas equações lineares em y,z: 2\lambda y = -3\mu \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{3\mu}{2\lambda},
8\lambda z=-4\mu \quad\Rightarrow\quad z=-\frac{\mu}{2\lambda}.
Observação: se \lambda=0 então das duas últimas viria \mu=0, o que contradiz a primeira equação (pois então 1=0). Portanto \lambda\neq0 e as divisões acima são válidas.
  • Usar a restrição linear x+3y+4z=0. Substituindo y,z: x+3\!\left(-\frac{3\mu}{2\lambda}\right)+4\!\left(-\frac{\mu}{2\lambda}\right)=0
x-\frac{9\mu}{2\lambda}-\frac{4\mu}{2\lambda}=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{13\mu}{2\lambda}.
  • Voltar à primeira equação dos multiplicadores 1=2\lambda x+\mu. Substituindo x: 1=2\lambda\cdot\frac{13\mu}{2\lambda}+\mu=13\mu+\mu=14\mu\quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{1}{14}.
  • Com \mu=\tfrac{1}{14} temos x=\frac{13\mu}{2\lambda}=\frac{13}{28\lambda},\qquad y=-\frac{3\mu}{2\lambda}=-\frac{3}{28\lambda},\qquad z=-\frac{\mu}{2\lambda}=-\frac{1}{28\lambda}.Assim (x,y,z)=\dfrac{1}{28\lambda}\,(13,-3,-1). Notação útil: as coordenadas são proporcionais a (13,-3,-1).
  • Impor agora a restrição quadrática x^{2}+y^{2}+4z^{2}=K. Substituir x,y,z em função de \lambda: x^{2}+y^{2}+4z^{2}=\frac{1}{(28\lambda)^{2}}\big(13^{2}+(-3)^{2}+4\cdot(-1)^{2}\big) =\frac{1}{(28\lambda)^{2}}(169+9+4)=\frac{182}{(28\lambda)^{2}}.Portanto \frac{182}{(28\lambda)^{2}}=K\quad\Rightarrow\quad (28\lambda)^{2}=\frac{182}{K}.Assim \lambda^{2}=\frac{182}{28^{2}K}=\frac{13}{56K}.Logo \lambda=\pm\sqrt{\dfrac{13}{56K}}.
  • Consequentemente as soluções críticas são duas (sinal + e sinal −): (x,y,z)=\frac{1}{28\lambda}\,(13,-3,-1)=\pm\frac{1}{28\sqrt{13/(56K)}}\,(13,-3,-1).Podemos simplificar a expressão para x. A partir da relação de proporção y=-\dfrac{3}{13}x, z=-\dfrac{1}{13}x (pois (x,y,z) é proporcional a (13,-3,-1)), substituindo na restrição quadrática obtém-se x^{2}\Big(1+\frac{9}{169}+\frac{4}{169}\Big)=K\quad\Rightarrow\quad x^{2}\frac{182}{169}=K,
x^{2}=\frac{169}{182}K=\frac{13}{14}K.
Portanto
x=\pm\sqrt{\frac{13}{14}K}.
Assim o máximo de x é a escolha do sinal +:
x_{\max}=\sqrt{\frac{13}{14}K}.
E as coordenadas correspondentes são (usando y=-\tfrac{3}{13}x, z=-\tfrac{1}{13}x):
y_{\max}=-\frac{3}{13}\sqrt{\frac{13}{14}K},\qquad z_{\max}=-\frac{1}{13}\sqrt{\frac{13}{14}K}.
O mínimo de x é o simétrico com sinal negativo:
x_{\min}=-\sqrt{\frac{13}{14}K},
com y_{\min}=-\dfrac{3}{13}x_{\min}, z_{\min}=-\dfrac{1}{13}x_{\min}.

Passo 4

Método das formas diferenciais (mesma conclusão, explicação didática).
  • Escrevo as formas diferenciais das funções: df=dx,
dg_{1}=2x\,dx+2y\,dy+8z\,dz,
dg_{2}=dx+3\,dy+4\,dz.
  • A ideia das formas: num extremo sujeito às duas restrições espera-se que a 1-forma df\) seja combinação linear das 1-formas \(dg_{1}\) e \(dg_{2}\), isto é existam \(\lambda,\mu\) tais que \[df=\lambda\,dg_{1}+\mu\,dg_{2}.Igualando coeficientes de dx,dy,dz obtemos exatamente o mesmo sistema \begin{cases} 1=2\lambda x+\mu,\\[4pt] 0=2\lambda y+3\mu,\\[4pt] 0=8\lambda z+4\mu, \end{cases}que já resolvemos. Portanto o método das formas dá a mesma condição e leva às mesmas soluções. Justificação: formas diferenciais expressam a condição de que a direção de maior aumento de (f] esteja contida no espaço gerado pelos gradientes das restrições; é apenas uma formulação “em linguagem de 1-formas” do método de Lagrange.]

Passo 5

Justificativa do uso dos teoremas e do teste de segunda ordem (classificação max/min).
  • Regularidade (condição para aplicar o teorema de multiplicadores, possivelmente o Teorema 3.1.3): é necessário que \nabla g_{1} e \nabla g_{2} sejam linearmente independentes no ponto candidato. Nas soluções encontradas, x\neq0 (pois x^{2}=\tfrac{13}{14}K e assumindo K>0), assim \nabla g_{1}=(2x,2y,8z),\qquad \nabla g_{2}=(1,3,4)não são múltiplos um do outro (verificável diretamente), logo são independentes. Portanto a condição de regularidade se cumpre e o teorema que dá as condições necessárias por multiplicadores (provavelmente o Teorema 3.1.3) pode ser aplicado.
  • Teste de segunda ordem (possivelmente Teorema 3.3.1): considerar a Hessiana da Lagrangiana. Com a convenção usada (escrevemos L=f-\lambda g_{1}-\mu g_{2}), a Hessiana é \nabla^{2}L=\nabla^{2}f-\lambda\nabla^{2}g_{1}-\mu\nabla^{2}g_{2} =-\lambda\operatorname{diag}(2,2,8),porque \nabla^{2}f=0 e \nabla^{2}g_{2}=0. Para \lambda>0 esta matriz é definida negativa (os valores diagonais são negativos), logo sua restrição ao espaço tangente das restrições é definida negativa; isso garante que o ponto com \lambda>0 seja um máximo restrito (suficiência de segunda ordem). Como das soluções \lambda=\pm\sqrt{13/(56K)}, a escolha \lambda=+\sqrt{13/(56K)} corresponde ao máximo (pois dá Hessiana negativa definida no espaço tangente); a escolha \lambda=-\sqrt{13/(56K)} dá mínimo. Portanto o Teorema de segunda ordem (provavelmente o Teorema 3.3.1) pode ser aplicado para classificar máximo/minimo.
  • Conclusão sobre os teoremas: ambos podem ser usados, desde que K>0 (para garantir que as soluções sejam reais e x\neq0); a regularidade das restrições no ponto crítico e a sinalização da Hessiana da Lagrangiana justificam a aplicação dos teoremas.

Resposta

x_{\max}=\displaystyle \sqrt{\frac{13}{14}\,(c_{1}+c_{2}+c_{3}+5)} attained at \displaystyle (x,y,z)=\Big(\sqrt{\tfrac{13}{14}K},\;-\frac{3}{13}\sqrt{\tfrac{13}{14}K},\;-\frac{1}{13}\sqrt{\tfrac{13}{14}K}\Big), where K=c_{1}+c_{2}+c_{3}+5.\newline
x_{\min}=-\displaystyle \sqrt{\frac{13}{14}\,(c_{1}+c_{2}+c_{3}+5)} attained at the symmetric point \displaystyle (x,y,z)=\Big(-\sqrt{\tfrac{13}{14}K},\;\frac{3}{13}\sqrt{\tfrac{13}{14}K},\;\frac{1}{13}\sqrt{\tfrac{13}{14}K}\Big).\newline
Teorema 3.1.3: pode ser usado (gradientes das restrições são linearmente independentes nos pontos críticos). \newline
Teorema 3.3.1: pode ser usado (Hessiana da Lagrangiana é negativa definida no espaço tangente para \lambda>0, garantindo máximo; para \lambda<0 dá mínimo).

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