Questão 1 Nos itens a seguir classifique as equações diferenciais quanto a linearidade e a ordem. Verifique também qual é a variável dependente e a independente.
(g) e^{x} x^{\prime \prime \prime}+y x^{\prime \prime}+x=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para cada equação diferencial indicar:
  1. Qual é a variável independente e a variável dependente.
  2. A ordem da equação (maior derivada presente).
  3. Se é linear ou não (isto é, se aparece apenas termos lineares em x e suas derivadas).
    No item (g) temos
e^{x}\,x'''+y\,x''+x=2\,x^{2}.

Passo 2

Para decidir as variáveis, note que o símbolo de derivada (prime) está aplicado a x e há um fator y multiplicando x''. Logo, interpretamos que
– a variável independente é y, pois as derivadas são em relação a y;
– a variável dependente é x, que é função de y: x=x(y).

Passo 3

A ordem da equação é dada pelo maior número de primes. Aqui aparece x''', que é a terceira derivada de x. Portanto, é uma equação diferencial de terceira ordem.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se todos os termos envolvendo x, x', x'', x''' aparecem só multiplicados por funções da variável independente (aqui y) ou constantes, e nunca de forma não‐linear (por exemplo produtos entre essas funções ou potências de x).
Na equação
e^{x}\,x'''+y\,x''+x=2\,x^{2}
– O coeficiente de x''' é e^{x}, que depende de x (a função dependente), e não apenas de y.
– No segundo membro aparece 2\,x^{2}, que é uma potência não‐linear de x.
Portanto, não é linear.

Passo 5

Resumo da classificação:
– Variável independente: y.
– Variável dependente: x.
– Ordem: 3 (terceira ordem).
– Linearidade: não‐linear (tanto pelo coeficiente e^{x} de x''' quanto pelo termo 2x^{2}).

Resposta

Variável independente: y
Variável dependente: x
Ordem: 3ª ordem
Linearidade: não‐linear

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