Questão 1 Nos itens a seguir classifique as equações diferenciais quanto a linearidade e a ordem. Verifique também qual é a variável dependente e a independente.
(f) \cos (y) x^{(5)}+y^{2} x^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\cos(y)\,x^{(5)} + y^{2}\,x'' = 0
e pede que a classifiquemos quanto à linearidade, à ordem, além de identificar a variável dependente e a independente.

Passo 2

Para identificar as variáveis, observamos que aparece x^{(5)} e x'', ou seja, são derivadas de x em relação a algum parâmetro. Os coeficientes \cos(y) e y^{2} dependem apenas de y. Logo, a variável independente é y e a variável dependente é x, ou seja, x=x(y).

Passo 3

A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece. Aqui temos x^{(5)} (a derivada de quinta ordem) e x''. Portanto, a equação é de quinta ordem.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se tiver a forma
a_{5}(y)\,x^{(5)} + a_{4}(y)\,x^{(4)} + \cdots + a_{1}(y)\,x' + a_{0}(y)\,x = g(y)
com cada a_{i}(y) função apenas de y e sem produtos ou potências não lineares de x ou de suas derivadas. No nosso caso só aparecem
a_{5}(y)=\cos(y),\quad a_{2}(y)=y^{2},\quad g(y)=0
e não há nenhum termo como (x')^{2} ou x\cdot x''. Logo, a equação é linear.

Resposta

Linear, quinta ordem, variável independente y, variável dependente x.

Exercícios relacionados