Questão 4: Nos itens a seguir, obtenha
e
.
;
Passo 1
O enunciado pede para obter
e
. As informações fornecidas são:
Ou seja:
é dada em termos de
e
, e
são funções de
. A tarefa é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, expressando tudo em termos de
e
.
Passo 2
Estratégia: como
depende de
indiretamente através de
e
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia para parciais diz:
Aqui
e
são as derivadas parciais de
tratando
e
como variáveis independentes; depois substituímos as derivadas de
em relação a
. Vou calcular
e
primeiro.
Passo 3
Calcular
. Tratando
como constante,
é produto de
por
, então usamos a regra do produto:
- derivada de
é , multiplicada por ; - mais
vezes a derivada de em relação a . A derivada de é ; aqui e .
Portanto,
Simplificando o sinal,
Passo 4
Calcular
. Agora trate
como constante. Temos
. A derivada de
é
; aqui
e
. Multiplicando pelo fator
que está na frente,
Ou seja,
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Das definições
e
obtemos:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para
:
Substituindo
e
que calculamos e
do passo anterior:
Multiplicando os fatores:
Como
, podemos simplificar
, então
Uma forma compacta é
Passo 7
Agora
. Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Portanto
Ou desenvolvendo os sinais,
Passo 8
Para ficar totalmente em termos de
e
, substituímos
e
. Note que
Usando isso nas expressões finais:
Essas são as formas finais em termos de
e
.