Questão 4: Nos itens a seguir, obtenha \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}.
z=x \sin \left(y^{2}-x\right), \quad x=3 s-t^{2}, \quad y=s^{6};

Passo 1

O enunciado pede para obter \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}. As informações fornecidas são:
z = x \sin\bigl(y^{2}-x\bigr),
x = 3s - t^{2},
y = s^{6}.
Ou seja: z é dada em termos de x e y, e x,y são funções de s,t. A tarefa é calcular as derivadas parciais de z em relação a s e a t, expressando tudo em termos de s e t.

Passo 2

Estratégia: como z depende de s,t indiretamente através de x(s,t) e y(s,t), usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia para parciais diz:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} são as derivadas parciais de z(x,y) tratando x e y como variáveis independentes; depois substituímos as derivadas de x,y em relação a s,t. Vou calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} primeiro.

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial x}. Tratando y como constante, z(x,y)=x\sin\bigl(y^{2}-x\bigr) é produto de x por \sin(\cdot), então usamos a regra do produto:
  • derivada de x é 1, multiplicada por \sin\bigl(y^{2}-x\bigr);
  • mais x vezes a derivada de \sin\bigl(y^{2}-x\bigr) em relação a x. A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'; aqui u=y^{2}-x e u'=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x)=-1.
    Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x}=\sin\bigl(y^{2}-x\bigr)+x\cos\bigl(y^{2}-x\bigr)\cdot(-1).
Simplificando o sinal,
\frac{\partial z}{\partial x}=\sin\bigl(y^{2}-x\bigr)-x\cos\bigl(y^{2}-x\bigr).

Passo 4

Calcular \frac{\partial z}{\partial y}. Agora trate x como constante. Temos z(x,y)=x\sin\bigl(y^{2}-x\bigr). A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'; aqui u=y^{2}-x e u'=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x)=2y. Multiplicando pelo fator x que está na frente,
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cos\bigl(y^{2}-x\bigr)\cdot 2y.
Ou seja,
\frac{\partial z}{\partial y}=2xy\cos\bigl(y^{2}-x\bigr).

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t. Das definições x=3s-t^{2} e y=s^{6} obtemos:
\frac{\partial x}{\partial s}=3,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=-2t,
\frac{\partial y}{\partial s}=6s^{5},\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=0.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial s}:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} que calculamos e \frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s} do passo anterior:
\frac{\partial z}{\partial s}=\bigl(\sin(y^{2}-x)-x\cos(y^{2}-x)\bigr)\cdot 3 + \bigl(2xy\cos(y^{2}-x)\bigr)\cdot 6s^{5}.
Multiplicando os fatores:
\frac{\partial z}{\partial s}=3\sin(y^{2}-x)-3x\cos(y^{2}-x)+12x y s^{5}\cos(y^{2}-x).
Como y=s^{6}, podemos simplificar y s^{5}=s^{6}\cdot s^{5}=s^{11}, então
\frac{\partial z}{\partial s}=3\sin(y^{2}-x)-3x\cos(y^{2}-x)+12x s^{11}\cos(y^{2}-x).
Uma forma compacta é
\frac{\partial z}{\partial s}=3\sin(y^{2}-x)+x\bigl(12s^{11}-3\bigr)\cos(y^{2}-x).

Passo 7

Agora \frac{\partial z}{\partial t}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo \frac{\partial x}{\partial t}=-2t e \frac{\partial y}{\partial t}=0, obtemos
\frac{\partial z}{\partial t}=\bigl(\sin(y^{2}-x)-x\cos(y^{2}-x)\bigr)\cdot(-2t)+\bigl(2xy\cos(y^{2}-x)\bigr)\cdot 0.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial t}=-2t\bigl(\sin(y^{2}-x)-x\cos(y^{2}-x)\bigr).
Ou desenvolvendo os sinais,
\frac{\partial z}{\partial t}=-2t\sin(y^{2}-x)+2tx\cos(y^{2}-x).

Passo 8

Para ficar totalmente em termos de s e t, substituímos x=3s-t^{2} e y=s^{6}. Note que
y^{2}-x=(s^{6})^{2}-(3s-t^{2})=s^{12}-3s+t^{2}.
Usando isso nas expressões finais:
\frac{\partial z}{\partial s}=3\sin\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)+(3s-t^{2})\bigl(12s^{11}-3\bigr)\cos\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr),
\frac{\partial z}{\partial t}=-2t\sin\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)+2t(3s-t^{2})\cos\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr).
Essas são as formas finais em termos de s e t.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=3\sin\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)+(3s-t^{2})\bigl(12s^{11}-3\bigr)\cos\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=-2t\sin\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)+2t(3s-t^{2})\cos\bigl(s^{12}-3s+t^{2}\bigr)

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